Modelos matemáticos para a cidadania

Teste N.º 1, Domínio 10, versão B (Porto Editora, 2026/2027) — item 1

Nas eleições para a nova direção de um clube de surf, registou-se uma participação na votação de \(45\%\) dos sócios inscritos. Os sócios podiam votar na Lista A ou na Lista B. Depois de contados todos os boletins, os resultados foram os seguintes:

Qual das seguintes opções representa o número de sócios inscritos neste clube?

(A) \(360\)

(B) \(600\)

(C) \(800\)

(D) \(1250\)

“Prova-Modelo 1”, Provas-Modelo de Exame de Matemática A (2025/2026) — item 3.2

Nas eleições presidenciais de um determinado ano, dos \(10\,847\,434\) eleitores inscritos, nem todos votaram. Terminada a votação, registou-se uma taxa de abstenção de, aproximadamente, \(60,74\%\), e o candidato X obteve \(2\,531\,692\) votos validamente expressos (aproximadamente \(60,67\%\)).

Qual foi a percentagem, arredondada às unidades, de votos em branco ou nulos?

(A) \(2\%\)

(B) \(61\%\)

(C) \(1\%\)

(D) \(80\%\)

“Prova-Modelo 2”, Provas-Modelo de Exame de Matemática A (2025/2026) — item 7.2

Deposita-se num banco uma quantia monetária \(Q\), a uma taxa anual de juros compostos. Pretende-se que, daqui a dois anos, o capital acumulado seja \(5\%\) superior a \(Q\).

Qual deverá ser, em percentagem e com uma casa decimal, a taxa anual de juros?

(A) \(2,3\%\)

(B) \(2,5\%\)

(C) \(4,9\%\)

(D) \(5,1\%\)

Exame Nacional 2026, época especial — item 3 (versão AE2023)

A Inês depositou \(5740\) euros numa instituição financeira, na modalidade de juro composto, capitalizado mensalmente, à taxa de juro anual de \(2\%\).

Durante dois anos, a Inês não fez nenhum levantamento nem nenhum depósito.

Qual foi o capital acumulado, em euros, arredondado às unidades, obtido pela Inês, no final dos dois anos?

(A) \(5970\)

(B) \(5972\)

(C) \(5973\)

(D) \(5974\)

Exame Nacional 2023, 2.ª fase — item 13

Para fazer obras de remodelação das instalações, uma pequena empresa pretende pedir um empréstimo a um banco, a pagar em prestações mensais iguais.

De acordo com a proposta do banco, o valor da prestação mensal a pagar, \(p\), em euros, é dado, em função da taxa de juro anual aplicada, \(j\), em percentagem, pela expressão

\[p\left( j \right)=\frac{62,5\,j}{1-{\left( 1+\frac{j}{1200} \right)}^{-120}}, \text{com}j>0.\]

Sabe-se que, no caso de a taxa de juro anual inicial duplicar, a prestação mensal aumentará \(120\) euros.

Determine, utilizando a calculadora gráfica, a taxa de juro anual inicial.

Apresente o resultado em percentagem, arredondado às milésimas.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

Teste N.º 1, Domínio 10 (Porto Editora, 2026/2027) — item 6

Uma equipa de andebol sub-14 foi convidada a participar num torneio internacional, que se realizará em Espanha.

Para financiar a deslocação, o clube fez um depósito inicial de \(850\) euros numa conta à ordem. Durante \(17\) meses, após o depósito inicial, o clube continuou a depositar nessa conta, mensalmente, uma quantia fixa, correspondente a uma percentagem \(p\) do depósito inicial. No final desse período, o montante acumulado na conta era \(2584\) euros.

Qual é a percentagem \(p\) correspondente ao valor depositado mensalmente?

(A) \(12\%\)

(B) \(14\%\)

(C) \(16\%\)

(D) \(18\%\)

Máximo 10, Teste de Avaliação n.º 1 (Porto Editora, 2025/2026) — item 1

Na turma do \(10.º\) A, do curso de Ciências e Tecnologias, composta por \(28\) alunos, vai ser eleito um delegado de turma.

Todos os votos foram considerados válidos e distribuíram-se apenas por \(4\) candidatos.

Qual das seguintes percentagens pode corresponder à percentagem exata de votos obtida pelo aluno eleito, sabendo que foi eleito por maioria absoluta?

(A) \(50\%\)

(B) \(54\%\)

(C) \(71\%\)

(D) \(75\%\)

Máximo 10, Teste de Avaliação n.º 1 (Porto Editora, 2025/2026) — item 3

Numa eleição para representantes de arquitetos do Conselho de Cultura de um município, apresentaram-se \(4\) listas. A distribuição das \(5\) vagas será feita com base num modelo de partilha proporcional, de acordo com o método de Sainte-Laguë.

Os resultados em votos foram os seguintes: Lista A: \(10\,800\) votos; Lista B: \(7200\) votos; Lista C: \(4900\) votos; Lista D: \(2700\) votos.

A tabela seguinte apresenta os quocientes obtidos pela divisão do número de votos de cada lista por \(1,2,3,4\) e \(5\).

Distribua as \(5\) vagas pelas listas que se apresentaram à eleição, indicando os quocientes que deram origem a cada mandato.

Máximo 10, Teste de Avaliação n.º 1 (Porto Editora, 2025/2026) — item 5

A Ariana é gerente de uma loja de acessórios de moda. A tabela seguinte tem algumas informações sobre o seu recibo de vencimento referente ao mês de outubro de 2025.

Nos cálculos intermédios, considere a parte inteira do valor da retenção de IRS.

Determine o valor do salário líquido auferido pela Ariana nesse mês.

Apresente a sua resposta arredondada às centésimas.

Exercício original — item 1

Numa associação de moradores com \(1700\) sócios votantes, vão ser eleitos \(4\) membros para a direção, por um sistema de representação proporcional pelo método de Sainte-Laguë. Apresentaram-se três listas, X, Y e Z, que obtiveram os seguintes resultados:

Determine quantos mandatos foram atribuídos a cada lista, apresentando os quocientes utilizados.

Máximo 10, Teste de Avaliação n.º 1 (Porto Editora, 2025/2026) — item 6

A Sónia quer comprar um equipamento desportivo no valor de \(1500\) euros. Tem já poupados \(375\) euros (ou seja, \(25\%\) do valor) e vai pedir um empréstimo de \(1125\) euros (os restantes \(75\%\)) a uma instituição financeira, que lhe propõe duas modalidades de juro composto:

Modalidade 1: taxa de juro anual de \(5\%\), com capitalização anual, durante \(3\) anos;

Modalidade 2: taxa de juro anual de \(3\%\), com capitalização semestral, durante \(5\) anos.

Em ambas as modalidades, a Sónia pagará o montante total (capital \(+\) juros) de uma só vez, no final do respetivo prazo.

Determine qual das duas modalidades é mais vantajosa para a Sónia, apresentando o montante total a pagar em cada uma delas.

“Prova 3” (exame-modelo), Preparar o Exame 2027 (Raiz Editora, 2025/2026) — item 1

Na tabela seguinte, apresentam-se os quocientes necessários para determinar a distribuição de sete mandatos do círculo eleitoral de um certo país, por aplicação do método de Hondt. Nestas eleições, participaram quatro partidos.

O número de mandatos atribuídos aos partidos A, B, C e D foi, respetivamente:

(A) \(3,3,1,0\)

(B) \(4,2,1,0\)

(C) \(3,2,2,0\)

(D) \(3,1,1,1\)

“Prova-Modelo 3”, Provas-Modelo de Exame de Matemática A (2025/2026) — item 8.2

Nas eleições autárquicas de 2015 foram obtidos os seguintes resultados eleitorais para a Câmara Municipal de São Pedro do Sul: votantes \(=9985\) (\(68,56\%\) de \(14\,564\) inscritos); votos: PS \(=5605\), PPD/PSD \(=2497\), CH \(=761\), CDS-PP \(=587\), PCP-PEV \(=175\) (total de votos nas listas \(=9625\)); votos em branco \(=207\); votos nulos \(=153\). Sabe-se que a Câmara Municipal de São Pedro do Sul elegeu sete vereadores (usando o método de Hondt).

Considera as seguintes proposições:

I. A percentagem de votos validamente expressos é, aproximadamente, \(3,6\%\).

II. Sabendo que é utilizado o método de Hondt, o PS elege \(4\) vereadores, o PPD/PSD elege \(2\) vereadores e o CH elege \(1\) vereador.

Justifica que as proposições I e II são falsas. Na resposta, apresenta, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Exame Nacional 2026, 1.ª fase — item 12

A Inês pretende subscrever uma conta-poupança, com a duração de \(25\) anos, nas condições seguintes:

no início de cada ano, a Inês compromete-se a depositar na conta a quantia fixa de \(500\) euros;

durante os \(25\) anos, a Inês não pode fazer levantamentos nem depósitos adicionais;

no fim de cada ano, ao capital existente na conta, é adicionado o valor do juro, calculado à taxa de juro anual de \(j\%\).

O capital, \(C\), em euros, existente na conta da Inês, no final dos \(25\) anos, é dado, em função da taxa de juro anual, \(j\), em percentagem, por

\[C\left( j \right)=500\left( 1+\frac{100}{j} \right)\left( {\left( 1+\frac{j}{100} \right)}^{25}-1 \right), \text{com}j>0\]

A Inês pretende obter, no final dos \(25\) anos, um acréscimo de \(20\%\) relativamente ao total das quantias depositadas.

Determine, recorrendo à calculadora, a taxa de juro anual, em percentagem, que a Inês deverá negociar com o banco, de modo a concretizar o seu objetivo.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s), que lhe permitem resolver a equação.

Exame Nacional 2026, 1.ª fase — item 13 (versão AE2023)

Uma agência de viagens pretende organizar um passeio que inclui a visita a uma praia portuguesa.

Para escolher a praia a visitar, a agência realizou uma votação junto de \(250\) dos seus clientes, de modo a saber qual destas quatro praias preferiam: praia do Almograve (A); praia do Barril (B); praia do Cabedelo (C); praia da Duquesa (D).

Ao votar, cada cliente preencheu um boletim, no qual ordenou as quatro praias, A, B, C e D, de acordo com as suas preferências. Cada boletim preenchido com uma certa ordenação corresponde a \(1\) voto.

A Tabela 2 apresenta as preferências de \(200\) desses \(250\) clientes.

Os \(50\) clientes restantes votaram todos numa mesma ordenação das quatro praias, colocando a praia B numa posição superior à da praia A.

Concluída a votação, aplicou-se o método a seguir descrito.

São atribuídos pontos a cada uma das praias, em função do seu lugar na ordem de preferência. Cada praia recebe: quatro pontos por cada voto na 1.ª preferência; três pontos por cada voto na 2.ª preferência; dois pontos por cada voto na 3.ª preferência; um ponto por cada voto na 4.ª preferência.

Contabiliza-se a pontuação total de cada uma das praias, e a mais pontuada é considerada a praia preferida pelos clientes da agência de viagens.

Em caso de empate, a tabela de preferências é reestruturada, contemplando-se, em cada coluna, apenas as praias empatadas, que ocuparão a 1.ª e a 2.ª preferências, mantendo-se a mesma ordem. A praia preferida pelos clientes da agência de viagens é a que obtiver maior número de votos na primeira preferência.

Mostre que a praia B não poderá ser a escolhida.

Na sua resposta, apresente:

a pontuação de cada praia, resultante da aplicação do método acima descrito aos votos registados na Tabela 2;

uma justificação para que a praia B não possa ser a escolhida, mesmo incluindo as votações possíveis dos \(50\) clientes.

Teste N.º 1, Domínio 10 (Porto Editora, 2026/2027) — itens 1.1, 1.2, 1.3

A tabela seguinte apresenta os resultados eleitorais dos cinco candidatos mais votados nas eleições presidenciais realizadas em França, em 2017.

a) [★★] Qual foi o número de eleitores inscritos à data destas eleições?

(A) \(36\,054\,394\)

(B) \(37\,003\,728\)

(C) \(46\,632\,849\)

(D) \(47\,582\,183\)

b) [★★] De entre os candidatos apresentados, calcule a diferença, com aproximação às décimas, entre a percentagem de votos obtida pelos candidatos com o maior e o menor número de votos, em relação ao número total de votos validamente expressos.

c) [★★★] Em França, nas eleições presidenciais, é usado o sistema de Maioria Absoluta.

Justifique que, nesta eleição, se realizou uma segunda volta e identifique os candidatos que nela participaram.

Teste N.º 1, Domínio 10 (Porto Editora, 2026/2027) — itens 2.1, 2.2

No início de 2025, um partido político português realizou uma votação interna, com o objetivo de definir a prioridade do programa eleitoral a apresentar nas eleições autárquicas.

As opções submetidas à apreciação dos militantes foram: Habitação (H), Mobilidade (M), Ambiente (A) e Cultura (C). Dos \(625\) militantes inscritos, \(400\) participaram na votação, ordenando as quatro opções por prioridade.

A tabela apresenta a distribuição dos votos validamente expressos, de acordo com a prioridade atribuída a cada opção.

a) [★★] Considere as seguintes afirmações.

I. A taxa de abstenção foi \(36\%\).

A percentagem de votos inválidos foi \(12\%\).

O número de votos para a primeira prioridade na opção «Habitação» é igual ao número de votos para a quarta prioridade na mesma opção.

Escolha a opção correta.

(A) As afirmações são todas verdadeiras.

(B) Apenas a afirmação II é verdadeira.

(C) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

(D) Apenas as afirmações II e III são falsas.

b) [★★★] Determine, por aplicação do método de Borda, qual foi a prioridade do programa eleitoral a apresentar por este partido político na sua candidatura às eleições autárquicas.

Apresente todos os cálculos efetuados.

Teste N.º 1, Domínio 10 (Porto Editora, 2026/2027) — item 3

No final de 2024, os moradores de um bairro elegeram os membros do Conselho de Gestão do Parque Comunitário, composto por dez membros, por aplicação do método de Hondt.

Havia três listas: Eco (E), Tec (T) e Arte (R). A tabela seguinte apresenta o número de votos, validamente expressos, obtidos por cada lista.

Um dos moradores afirmou que, ao aplicar-se o método de Hondt, o Conselho de Gestão teria tantos elementos da Lista E como da Lista R.

Verifique se o morador tinha razão.

Na sua resposta, apresente:

os quocientes da aplicação do método de Hondt, arredondados às centésimas;

o número de elementos de cada lista na equipa constituída.

Teste N.º 1, Domínio 10 (Porto Editora, 2026/2027) — itens 4.1, 4.2

A Marta candidatou-se a uma oferta de trabalho em regime de tempo parcial. Foi-lhe apresentada uma proposta de salário anual bruto de \(11\,648\) euros (incluindo subsídios de Natal e de férias).

a) [★★] Ao analisar a proposta, a Marta concluiu que o valor-hora correspondente ao salário proposto seria \(9,6\) euros. Nestas condições, quantas horas semanais teria a Marta de trabalhar?

(Utilize a fórmula \(valor-hora=\frac{{R}_{m}\times 12}{52n}\), com \({R}_{m}\) a remuneração mensal bruta e \(n\) o número de horas semanais.)

(A) \(15\)

(B) \(20\)

(C) \(25\)

(D) \(30\)

Após aceitar a proposta, a Marta decidiu utilizar uma bicicleta elétrica para se deslocar até ao novo local de trabalho, recorrendo a um empréstimo bancário no valor de \(2400\) euros.

Para pagar o empréstimo, ficou estabelecido que o valor pedido seria dividido em \(20\) parcelas iguais. Durante \(20\) meses, a Marta pagaria uma prestação igual ao valor da parcela acrescido de uma taxa de \(6\%\).

Depois de pagar as \(12\) primeiras prestações, a Marta teve despesas imprevistas e propôs não pagar as prestações \(13.ª\) a \(16.ª\) no mês previsto, comprometendo-se a terminar o pagamento no \(20.º\) mês. A proposta foi aceite: nos meses \(17.º\) a \(20.º\), a prestação seria igual a um quarto do valor total das parcelas em dívida, acrescida de uma nova taxa (a aplicar a esse montante total).

Sabe-se que, no final dos \(20\) meses, a Marta pagou um total de \(2572,80\) euros para liquidar o empréstimo de \(2400\) euros.

b) [★★★] Determine a nova taxa aplicada nos \(17.º\) a \(20.º\) meses.

Apresente o resultado em percentagem.

Teste N.º 1, Domínio 10 (Porto Editora, 2026/2027) — itens 5.1, 5.2, 5.3

O Francisco reside em Aveiro, é solteiro, não tem filhos e é trabalhador por conta de outrem.

No final do mês de fevereiro de 2024, o Francisco recebeu \(1199\) euros. Nesse valor, já está incluído o subsídio de alimentação, no montante de \(6\) euros por cada dia de trabalho efetivo.

Sabe-se que, nesse mês:

o desconto para a Segurança Social foi \(11\%\);

o valor da retenção na fonte de IRS foi \(256\) euros;

o Francisco trabalhou \(20\) dias úteis.

a) [★★] Em qual das seguintes opções se encontra o vencimento ilíquido do Francisco no mês de fevereiro?

(A) \(3840\) €

(B) \(1500\) €

(C) \(1305\) €

(D) \(1080\) €

Considere, nesta alínea, que, no ano de 2024, o Francisco obteve um rendimento global bruto de \(35\,000\) euros e que a tabela de IRS aplicada ao longo do ano de 2024 é a seguinte.

Relativamente a este ano, sabe-se que:

as deduções específicas a que o Francisco tem direito totalizaram \(4350,24\) euros;

não foram apresentadas quaisquer despesas adicionais;

a retenção na fonte de IRS feita pelo Francisco foi \(7028\) euros.

b) [★★★] Averigue se o Francisco teve de pagar algum valor de IRS ou se foi reembolsado pelo Estado. Verificando uma destas duas situações, indique esse valor.

O Francisco quer aplicar um capital, durante \(10\) anos, para poder fazer a sua viagem de sonho ao Japão.

c) [★★] Determine a taxa anual de juro composto que o Francisco deve procurar para que o capital inicial aumente \(50\%\) nesse período.

Apresente o resultado na forma de percentagem arredondada às centésimas.

Espiral 10, Apoio à avaliação (outubro de 2025, Porto Editora) — item 3

Nas eleições autárquicas de 2021, para a Assembleia de Freguesia da União das freguesias de Belmonte e Colmeal da Torre (concelho de Belmonte, distrito de Castelo Branco), apuraram-se os seguintes resultados, pelo Método de Hondt, com \(9\) mandatos a atribuir.

Calcule o número de abstencionistas que teriam de votar na coligação PCP-PEV, sem quaisquer outras alterações de votos, para que esta conquistasse um mandato, e indique, justificando, qual seria a força política que perderia um mandato por força desta alteração.

Espiral 10, Apoio à avaliação (outubro de 2025, Porto Editora) — itens 4.3a, 4.3b

O João decidiu aplicar \(14\,000\) euros num produto financeiro.

a) [★★] Se a taxa de juro anual líquida for \(2,4\%\), na modalidade de juros compostos, com capitalizações semestrais, qual será o capital acumulado ao fim de três anos de investimento?

(A) \(15\,008,00\) €

(B) \(14\,672,00\) €

(C) \(15\,032,39\) €

(D) \(15\,038,73\) €

b) [★★★] Caso o João tivesse optado por aplicar os \(14\,000\) euros num produto financeiro com uma taxa de juro anual de \(4,1\%\), com capitalizações anuais, indique ao fim de quantos anos o capital acumulado ultrapassaria os \(20\,000\) euros.

Espiral 10, Apoio à avaliação (novembro de 2025, Porto Editora) — item 1

Numa escola secundária vai-se organizar uma viagem à Noruega, no âmbito do projeto ERASMUS. A comitiva integrará \(18\) alunos dos três anos de escolaridade: \(10.º\), \(11.º\) e \(12.º\) anos.

Para definir o número de alunos a eleger em cada ano, foi considerado o número de alunos total por ano de escolaridade e aplicou-se o método de Hondt.

Aplicando o método de Hondt, determine:

o número de alunos de cada ano que integrará a comitiva;

o número mínimo de alunos que faltam estar matriculados no \(12.º\) ano para que o número de alunos da comitiva seja igual nos três anos de escolaridade.

Sempre que necessário, apresente valores arredondados às centésimas.

Espiral 10, Apoio à avaliação (novembro de 2025, Porto Editora) — item 2

O António é funcionário de uma empresa sediada no continente, não casado e com dois dependentes, cujo vencimento base é \(1187,00\) euros. Em novembro, o António vai ter um aumento.

A tabela seguinte apresenta parte da tabela de retenção na fonte de IRS aplicável de outubro a dezembro de 2025, para as condições fiscais do António (trabalho dependente, não casado, com dependentes).

Fórmula de cálculo: (remuneração mensal \(\times \) taxa) \(-\) parcela a abater \(-\) (n.º de dependentes) \(\times \) (parcela adicional a abater).

Comente a seguinte afirmação: «Se o aumento for igual a \(100\) euros, o valor de IRS retido na fonte aumenta cerca de \(24,40\) euros.»

Teste N.º 1, Domínio 10, versão B (Porto Editora, 2026/2027) — itens 2.1, 2.2

Nas eleições presidenciais realizadas em Portugal no dia 18 de janeiro de 2026, participaram vários candidatos.

À data destas eleições, o número total de eleitores inscritos era \(11\,039\,672\) e o número de votantes foi \(5\,769\,394\). O candidato mais votado, António José Seguro, obteve \(1\,755\,764\) votos; o segundo mais votado, André Ventura, obteve o segundo maior número de votos. Dos votos expressos, \(61\,237\) foram votos em branco e \(65\,386\) foram votos nulos.

a) [★★] Determine a percentagem de abstenção registada nestas eleições.

Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.

(Dados do item anterior.) Em Portugal, para se apurar o vencedor das eleições presidenciais, utiliza-se o método seguinte:

realiza-se uma primeira votação, na qual é eleito Presidente da República o candidato que obtiver mais de \(50\%\) dos votos validamente expressos;

se tal não se verificar, realiza-se uma segunda votação em que participam apenas os dois candidatos mais votados na primeira votação, sendo eleito Presidente o candidato mais votado na segunda votação.

b) [★★★] Justifique que, nesta eleição, foi necessária a realização da segunda votação e identifique os candidatos que nela participaram.

Máximo 10, Teste de Avaliação n.º 1 (Porto Editora, 2025/2026) — itens 2.1, 2.2

Na imagem seguinte apresentam-se os resultados obtidos nas eleições para a Câmara Municipal de um concelho, com \(7\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt.

Para aplicação do método de Hondt, foram calculados os seguintes quocientes:

O número total de eleitores inscritos era \(14\,025\) e o número de votantes foi \(11\,337\).

a) [★★] Qual foi a taxa de abstenção, com arredondamento às centésimas?

(A) \(80,86\%\)

(B) \(45,82\%\)

(C) \(21,57\%\)

(D) \(19,17\%\)

b) [★★★] Verifique, aplicando o método de Hondt, que a distribuição de \(7\) mandatos pelo PS (\(4\)) e pelo PPD/PSD (\(3\)) está correta.

Máximo 10, Teste de Avaliação n.º 2 (Porto Editora, 2025/2026) — item 1.1

A empresa TecnoMath lançou a iniciativa “Rosto TecnoMath”, destinada a escolher o colaborador que melhor representava a empresa, entre quatro finalistas: Ana (A), Bruno (B), Carla (C) e Daniel (D). Cada participante ordenou os quatro candidatos do \(1.º\) ao \(4.º\) lugar.

Foram apurados \(1200\) boletins válidos, agrupados em três listas de preferências, parcialmente conhecidas:

Para determinar o vencedor, aplicou-se o método de pontuação: \(4\) pontos por \(1.ª\) preferência, \(3\) por \(2.ª\), \(2\) por \(3.ª\) e \(1\) por \(4.ª\).

Sabe-se que o candidato Bruno (B) obteve um total de \(1400\) pontos e que a pontuação total de Daniel (D) foi inferior à de Ana (A).

Com base nestas informações, determine a ordenação dos candidatos A, B, C e D na Lista 3 (do \(1.º\) ao \(4.º\) lugar).

Na sua resposta, apresente todos os cálculos e todas as justificações necessárias.

Teste N.º 1, Domínio 10, versão B (Porto Editora, 2026/2027) — item 5

No âmbito de uma iniciativa de uma escola, pretende-se selecionar o tema de um projeto interdisciplinar, de entre quatro propostas: Sustentabilidade e economia circular (A), Inteligência artificial no ensino (B), Património histórico (C) e Saúde e bem-estar (D).

Realizou-se uma votação junto de \(300\) alunos, que ordenaram as quatro propostas por preferência. A tabela seguinte apresenta as preferências de \(240\) dos \(300\) alunos.

Os restantes \(60\) alunos votaram todos numa mesma ordenação das quatro propostas, colocando a proposta B numa posição superior à da proposta A.

Aplica-se o método seguinte: \(4\) pontos por \(1.ª\) preferência, \(3\) por \(2.ª\), \(2\) por \(3.ª\) e \(1\) por \(4.ª\); é selecionada a proposta com maior pontuação total.

Mostre que a proposta B não pode ser escolhida.

Na sua resposta, apresente:

a pontuação de cada proposta, resultante da aplicação do método acima descrito aos votos registados na tabela;

uma justificação para que a proposta B não possa ser escolhida, mesmo incluindo as votações possíveis dos \(60\) alunos.

Matemática 360, 10.º ano (Raiz Editora) — itens 2.1, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6

Na tabela seguinte, apresentam-se os cálculos para determinar a distribuição de \(9\) mandatos de um círculo eleitoral nas Eleições Legislativas de 2024, pelo método de Hondt. Apenas estão considerados os cinco partidos/coligações mais votados.

Os \(9\) maiores quocientes correspondem aos mandatos atribuídos.

a) [★★] Indique a ordem de atribuição dos mandatos deste círculo eleitoral, nestas eleições, pelos partidos/coligações.

b) [★★★] Um comentador político afirmou: «Se a votação do CH tivesse sido o triplo da votação do BE, o último mandato obtido pelo CH teria passado para o BE.» O comentador tem razão? Justifique.

c) [★★★] Se o método aplicado para a distribuição dos mandatos fosse o de Sainte-Laguë, a distribuição dos deputados pelos partidos/coligações seria diferente? Justifique.

d) [★★★] Mantendo-se as votações nos restantes partidos/coligações, qual deveria ter sido o número mínimo de votos no PS para ter conseguido quatro mandatos?

(A) \(73\,702\)

(B) \(73\,703\)

(C) \(78\,072\)

(D) \(78\,073\)

e) [★★★] O BE não conseguiu eleger qualquer representante. Quantos votos teria o BE de ganhar, no mínimo, ao partido que ganhou o último mandato, para eleger pelo menos um deputado (admitindo que a votação nos restantes partidos se mantém inalterada)?

Teste N.º 1, Domínio 10, versão B (Porto Editora, 2026/2027) — item 4

Numa universidade pública, realizaram-se eleições para a escolha dos representantes dos estudantes no Conselho Geral. O apuramento dos resultados, por aplicação do método de Hondt, fez-se de acordo com a tabela seguinte, em que se apresentam apenas as quatro listas mais votadas (valores não inteiros arredondados às unidades).

De acordo com a tabela, foram atribuídos quatro mandatos à Lista A e nenhum mandato às restantes listas.

Averigue se seria obtida a mesma distribuição de mandatos caso se aplicasse o método de Sainte-Laguë. Justifique a sua resposta.

Máximo 10, Teste de Avaliação n.º 1 (Porto Editora, 2025/2026) — item 7

O Óscar é um trabalhador dependente, não casado, com três dependentes. A sua remuneração mensal é \(1050\) euros.

A tabela de retenção na fonte mensal, para contribuintes do Continente, trabalho dependente, não casados com um ou mais dependentes, inclui a linha:

em que \(R\) representa a remuneração mensal. Fórmula geral: (remuneração mensal \(\times \) taxa) \(-\) parcela a abater \(-\) (parcela adicional a abater \(\times \) n.º de dependentes).

Determine o valor da retenção na fonte para IRS, em outubro de 2025, do Óscar.

Teste N.º 1, Domínio 10, versão B (Porto Editora, 2026/2027) — item 7

O IRS Jovem reduz o IRS de jovens trabalhadores nos primeiros anos de carreira (no máximo \(10\) anos e até aos \(35\) anos). As isenções são: \(1.º\) ano – \(100\%\); \(2.º\) ao \(4.º\) ano – \(75\%\); \(5.º\) ao \(7.º\) ano – \(50\%\); \(8.º\) ao \(10.º\) ano – \(25\%\) (em 2026, até \(29\,542,15\) € de rendimento anual).

A Patrícia e o Diogo trabalham na mesma empresa, por conta de outrem, solteiros e sem dependentes. A Patrícia tem \(30\) anos, aufere um salário bruto mensal de \(1500\) € e está no \(5.º\) ano em que obtém rendimentos. O Diogo tem \(38\) anos, tem um salário bruto mensal de \(1600\) € e obtém rendimentos há \(8\) anos.

Considere que:

os salários de ambos pertencem ao escalão em que a taxa de retenção no regime geral é \(24,10\%\) e a parcela a abater é \(193,33\) €;

o resultado da retenção arredonda-se por defeito à unidade de euro;

a isenção do IRS Jovem aplica-se diretamente a essa retenção;

a contribuição para a Segurança Social é \(11\%\) da remuneração mensal bruta.

Justifique a seguinte afirmação: «A Patrícia recebe o maior salário líquido mensal, apesar de o salário bruto do Diogo ser superior.»

Na sua resposta, apresente os salários líquidos mensais da Patrícia e do Diogo.

Exercício original — item 1

Para a eleição da comissão de trabalhadores de uma empresa, com \(6\) mandatos a atribuir, apresentaram-se quatro listas, A, B, C e D, com os seguintes resultados:

Determine a distribuição dos \(6\) mandatos caso se aplique o método de Hondt.

Determine a distribuição dos \(6\) mandatos caso se aplique o método de Sainte-Laguë.

Compare os dois resultados e identifique qual dos dois métodos beneficia mais a lista com menor votação (D).

Máximo 10, Teste de Avaliação n.º 1 (Porto Editora, 2025/2026) — item 9

O Miguel pretende contrair um crédito pessoal de \(25\,000\) euros, a pagar em \(60\) prestações mensais iguais. Comparou duas propostas de instituições financeiras:

Proposta A: prestação mensal de \(520,45\) euros, sem quaisquer encargos adicionais;

Proposta B: prestação mensal de \(511,30\) euros, com uma comissão única de abertura de \(300\) euros (paga no início) e despesas mensais de \(5,01\) euros (cobradas juntamente com cada prestação).

Determine qual das duas propostas representa um custo total mais baixo para o Miguel, ao longo dos \(60\) meses.

“Prova 2” (exame-modelo), Preparar o Exame 2027 (Raiz Editora, 2025/2026) — item 3

A Ana é uma funcionária de uma junta de freguesia que, após ser promovida em maio de 2026, passou a auferir um salário bruto de \(1800\) euros. O salário bruto corresponde ao salário antes de quaisquer descontos, não incluindo o subsídio de refeição nem outro tipo de abono.

Sabe-se que: Salário líquido mensal = Total de abonos − Total de descontos

Em julho de 2026, além do salário bruto, a Ana recebeu ainda \(6,20\) € de subsídio de refeição por cada dia de trabalho realizado, descontou \(11\%\) do seu salário bruto para a Segurança Social e fez retenção na fonte de acordo com a tabela seguinte:

Fórmula: (Remuneração mensal \(\times \) Taxa) − Parcela a abater − (Parcela adicional a abater \(\times \) n.º de dependentes). Considera-se a parte inteira do valor obtido.

De acordo com o calendário de julho de 2026 (um mês com \(31\) dias, começado a uma quarta-feira e terminado a uma sexta-feira), a Ana tem três dependentes e nunca faltou durante este mês, isto é, trabalhou em todos os dias úteis deste mês.

Admite que, no mês de julho de 2026, a Ana retirou para a sua poupança \(20\%\) do seu salário líquido.

Determina o valor retirado para a poupança.