Geometria analítica no plano

Como \(\left[ ABCD \right]\) é um retângulo, \(AD\parallel BC\), pelo que a reta \(AD\) tem declive \(-2\) e, passando em \(A\left( 2,0 \right)\), tem equação \(y=-2x+4\). Logo \(D=\left( 0,4 \right)\).

A reta \(DC\) é perpendicular a \(AD\), pelo que tem declive \(\frac{1}{2}\) e passa em \(D\): \(y=\frac{1}{2}x+4\).

\(C\) é a intersecção de \(DC\) com \(BC\): \(\frac{1}{2}x+4=-2x+5\Leftrightarrow \frac{5}{2}x=1\Leftrightarrow x=\frac{2}{5}\).

\(y=-2\times \frac{2}{5}+5=\frac{21}{5}\), pelo que \(C=\left( \frac{2}{5},\frac{21}{5} \right)\).

Seja \(r:y=mx+1\) (reta não vertical de ordenada na origem \(1\)). As abcissas de \(A\) e \(B\) são as soluções de \({x}^{2}=mx+1\Leftrightarrow {x}^{2}-mx-1=0\).

Sendo \({x}_{A}\) e \({x}_{B}\) essas soluções, pelas relações entre coeficientes e raízes, \({x}_{A}\times {x}_{B}=\frac{-1}{1}=-1\) (o discriminante \({m}^{2}+4\) é sempre positivo, logo há sempre duas soluções, nenhuma delas nula).

As retas \(OA\) e \(OB\) têm declives \(\frac{{x}_{A}^{2}}{{x}_{A}}={x}_{A}\) e \(\frac{{x}_{B}^{2}}{{x}_{B}}={x}_{B}\), respetivamente (pois \(A=\left( {x}_{A},{x}_{A}^{2} \right)\) e \(B=\left( {x}_{B},{x}_{B}^{2} \right)\)).

O produto desses declives é \({x}_{A}\times {x}_{B}=-1\), pelo que as retas \(OA\) e \(OB\) são perpendiculares.

Logo o ângulo convexo \(AOB\), formado por duas retas perpendiculares, é um ângulo reto, qualquer que seja a reta \(r\) (não vertical, passando em \(\left( 0,1 \right)\)) considerada.

\(S\) é a interseção de \(r\) com \(Oy\) (\(x=0\)): \(S=\left( 0,4 \right)\). \(T\) é a interseção com \(Ox\) (\(y=0\)): \(0=2x+4\Leftrightarrow x=-2\); \(T=\left( -2,0 \right)\).

\(\overrightarrow{TS}=S-T=\left( 2,4 \right)\). Como \(U\) tem abcissa inferior à de \(T\), \(\overrightarrow{TU}\) tem a direção e o sentido de \(\left( -1,0 \right)\).

\(\cos \left( \hat{STU} \right)=\frac{\overrightarrow{TS}\cdot \left( -1,0 \right)}{\left| \overrightarrow{TS} \right|\times \left| \left( -1,0 \right) \right|}=\frac{-2}{\sqrt{4+16}}=\frac{-2}{2\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\).

\(\hat{STU}=\arccos \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\approx 2,0344\) rad \(\approx 2,03\) rad.

Resposta: (C)

O hexágono é regular e centrado na origem, com raio (distância ao centro) igual a \(\left| OM \right|=1\); os vértices consecutivos distam \({60}^{\circ }\) entre si.

Como \(N\) pertence ao primeiro quadrante e é consecutivo de \(M=\left( 1,0 \right)\), \(N\) corresponde ao ângulo \({60}^{\circ }\): \(N=\left( \cos {60}^{\circ },\operatorname{sen}{60}^{\circ } \right)=\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\).

Declive da reta \(MN\): \(m=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\).

Equação: \(y-0=-\sqrt{3}\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}\).

Resposta: (A)

Um ponto \(\left( x,y \right)\) pertence à mediatriz de \(\left[ OA \right]\) se, e só se, for equidistante de \(O=\left( 0,0 \right)\) e de \(A=\left( -2,2 \right)\):

\[\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{\left( x+2 \right)}^{2}+{\left( y-2 \right)}^{2}}\]

Elevando ao quadrado e simplificando: \({x}^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+4x+4+{y}^{2}-4y+4\Leftrightarrow 4y=4x+8\Leftrightarrow y=x+2\).

Resposta: (C)

A circunferência está centrada no ponto \(\left( 2,-1 \right)\) e tem raio \(3\) (pois \({\left( x-2 \right)}^{2}+{\left( y+1 \right)}^{2}=9={3}^{2}\)).

Uma reta perpendicular ao eixo \(Ox\) é uma reta vertical, de equação \(x=k\).

As retas verticais tangentes à circunferência tocam-na nos pontos de abcissa extrema, ou seja, \(x=2-3=-1\) e \(x=2+3=5\).

As equações pedidas são \(x=5\) e \(x=-1\).

Resposta: (D)

A reta \(r\) tem vetor diretor \(\left( -1,4 \right)\), pelo que o seu declive é \(\frac{4}{-1}=-4\).

A reta \(s\), \(2y+ax=4\), tem equação reduzida \(y=-\frac{a}{2}x+2\), pelo que o seu declive é \(-\frac{a}{2}\).

Como \(r\) e \(s\) são paralelas, os declives são iguais: \(-\frac{a}{2}=-4\Leftrightarrow a=8\).

Resposta: (D)

O vetor diretor de \(r\) é \(\left( -1,2 \right)\), pelo que o declive de \(r\) é \(m=\frac{2}{-1}=-2\).

A inclinação \(\theta \in [0^{\circ},180^{\circ}[\) de uma reta de declive \(m\) verifica \(\tan \theta =m\). Como \(m<0\), \(\theta \) pertence ao \(2.º\) quadrante angular (entre \(90^{\circ}\) e \(180^{\circ}\)).

\(\theta =180^{\circ}-\arctan \left( 2 \right)\approx 180^{\circ}-63,43^{\circ}\approx 116,57^{\circ}\approx 117^{\circ}\).

Resposta: (C)

Considera um referencial com \(A=\left( 0,0 \right)\), \(B=\left( 7,0 \right)\), \(D=\left( 0,2 \right)\), \(C=\left( 7,2 \right)\) (coerente com \(\overline{AB}=7\) e \(\overline{AD}=2\)). Como \(P\in \left[ CD \right]\), \(P=\left( p,2 \right)\), com \(0\le p\le 7\).

\(\overrightarrow{AP}=\left( p,2 \right)\) e \(\overrightarrow{PC}=\left( 7-p,0 \right)\). Então \(\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PC}=p\left( 7-p \right)+2\times 0=p\left( 7-p \right)\).

\(p\left( 7-p \right)=\frac{45}{4}\Leftrightarrow 28p-4{p}^{2}=45\Leftrightarrow 4{p}^{2}-28p+45=0\Leftrightarrow p=\frac{28\pm \sqrt{784-720}}{8}=\frac{28\pm 8}{8}\), pelo que \(p=4,5\) ou \(p=2,5\).

Como \(\overline{DP}=p\) e \(\overline{PC}=7-p\), a condição \(\overline{DP}<\overline{PC}\) dá \(p<7-p\Leftrightarrow p<3,5\), pelo que \(p=2,5\).

Com \(P=\left( 2,5;2 \right)\): \(\overrightarrow{AP}=\left( 2,5;2 \right)\) e \(\overrightarrow{PC}=\left( 4,5;0 \right)\).

\(\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PC}}{\left∥ \overrightarrow{AP} \right∥\left∥ \overrightarrow{PC} \right∥}=\frac{45/4}{\sqrt{2,{5}^{2}+{2}^{2}}\times 4,5}=\frac{45/4}{\sqrt{10,25}\times 4,5}\). Como \(\sqrt{10,25}=\frac{\sqrt{41}}{2}\): \(\cos \alpha =\frac{45/4}{\frac{\sqrt{41}}{2}\times \frac{9}{2}}=\frac{45/4}{\frac{9\sqrt{41}}{4}}=\frac{45}{9\sqrt{41}}=\frac{5}{\sqrt{41}}\).

O seno obtém-se por \({\operatorname{sen}}^{2}\alpha =1-{\cos }^{2}\alpha =1-\frac{25}{41}=\frac{16}{41}\), pelo que \(\operatorname{sen}\alpha =\frac{4}{\sqrt{41}}\) (positivo, pois \(\alpha \in \,]0,\pi [\)).

\(\operatorname{tg}\alpha =\frac{\operatorname{sen}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{4/\sqrt{41}}{5/\sqrt{41}}=\frac{4}{5}\).

\(f\left( x \right)=a\Leftrightarrow {x}^{2}=1+a\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{1+a}\): os pontos de intersecção são \(\left( -\sqrt{1+a},a \right)\) e \(\left( \sqrt{1+a},a \right)\).

O vértice da parábola é \(\left( 0,-1 \right)\).

Por simetria em relação ao eixo \(Oy\), o centro da circunferência é da forma \(\left( 0,c \right)\).

Igualando os quadrados das distâncias do centro ao vértice e a um dos pontos de intersecção: \({\left( -1-c \right)}^{2}=1+a+{\left( a-c \right)}^{2}\).

Desenvolvendo: \(1+2c+{c}^{2}=1+a+{a}^{2}-2ac+{c}^{2}\Leftrightarrow 2c\left( 1+a \right)=a+{a}^{2}=a\left( 1+a \right)\Leftrightarrow c=\frac{a}{2}\).

O raio é a distância do centro ao vértice: \(r=\left| \frac{a}{2}-\left( -1 \right) \right|=1+\frac{a}{2}\).

a) ★★

Como \(A\) pertence à reta \(r\), de equação \(y=x\), \(A\) é da forma \(\left( t,t \right)\), com \(t>0\) (pois \(A\) pertence ao primeiro quadrante).

\(\overline{AO}=\sqrt{{t}^{2}+{t}^{2}}=\sqrt{2{t}^{2}}=\sqrt{2}\,\left| t \right|=\sqrt{2}\,t\) (pois \(t>0\)).

Como \(\overline{AO}=2\sqrt{2}\): \(\sqrt{2}\,t=2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=2\). Logo, \(A=\left( 2,2 \right)\).

Como a circunferência centrada em \(A\) contém a origem, o seu raio é \(\overline{AO}=2\sqrt{2}\), pelo que o raio ao quadrado é \({\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}=8\).

A equação da circunferência centrada em \(A=\left( 2,2 \right)\) e de raio\({​}^{2}=8\) é, portanto, \({\left( x-2 \right)}^{2}+{\left( y-2 \right)}^{2}=8\), como se pretendia mostrar.

b) ★★★

Da circunferência centrada em \(B\), \({\left( x+2 \right)}^{2}+{\left( y+1 \right)}^{2}=10\), conclui-se que \(B=\left( -2,-1 \right)\).

Com \(A=\left( 2,2 \right)\) (determinado no item anterior) e \(B=\left( -2,-1 \right)\): o ponto médio de \(\left[ AB \right]\) é \(M=\left( \frac{2-2}{2},\frac{2-1}{2} \right)=\left( 0,\frac{1}{2} \right)\).

O vetor \(\overrightarrow{AB}=B-A=\left( -4,-3 \right)\). Um vetor perpendicular a \(\overrightarrow{AB}\) é, por exemplo, \(\left( 3,-4 \right)\) (trocam-se as coordenadas e troca-se o sinal de uma delas); confirma-se: \(\left( -4,-3 \right)\cdot \left( 3,-4 \right)=-12+12=0\).

A mediatriz de \(\left[ AB \right]\) é a reta perpendicular a \(AB\) que passa no ponto médio \(M\), pelo que uma equação vetorial é:

\[\left( x,y \right)=\left( 0,\frac{1}{2} \right)+k\left( 3,-4 \right), k\in R\]

a) ★★★

O raio da circunferência é \(r=\sqrt{130}\) (centro \(C\)), pelo que \(\overline{CA}=\overline{CB}=\sqrt{130}\).

Tomando \(C\) como origem auxiliar e designando por \(A'=A-C\) e \(B'=B-C\) (ambos de norma \(\sqrt{130}\)): \(\overrightarrow{BC}=C-B=-B'\) e \(\overrightarrow{BA}=A-B=A'-B'\).

\(\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=\left( -B' \right)\cdot \left( A'-B' \right)=-A'\cdot B'+B'\cdot B'=-A'\cdot B'+130\).

Como esta expressão é igual a \(180\): \(-A'\cdot B'+130=180\Leftrightarrow A'\cdot B'=-50\).

Por outro lado, \(A'\cdot B'=\overline{CA}\times \overline{CB}\times \cos \left( \hat{ACB} \right)=130\cos \left( \hat{ACB} \right)\).

Logo, \(130\cos \left( \hat{ACB} \right)=-50\Leftrightarrow \cos \left( \hat{ACB} \right)=-\frac{5}{13}\), pelo que \(\operatorname{sen}\left( \hat{ACB} \right)=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}\) (ângulo entre \(0\) e \(\pi \), seno positivo).

A área do triângulo \(\left[ ABC \right]\) é:

\[\frac{\overline{CA}\times \overline{CB}\times \operatorname{sen}\left( \hat{ACB} \right)}{2}=\frac{130\times \frac{12}{13}}{2}=\frac{120}{2}=60\]

b) ★★

Como \(D\) tem ordenada nula: \({\left( x-1 \right)}^{2}+{\left( 0+3 \right)}^{2}=130\Leftrightarrow {\left( x-1 \right)}^{2}=121\Leftrightarrow x-1=\pm 11\Leftrightarrow x=12\lor x=-10\).

Como a abcissa de \(D\) é positiva, \(D=\left( 12,0 \right)\).

O centro é \(C=\left( 1,-3 \right)\). O vetor \(\overrightarrow{CD}=\left( 12-1,0-\left( -3 \right) \right)=\left( 11,3 \right)\), pelo que o declive da reta \(CD\) é \(\frac{3}{11}\).

A reta tangente em \(D\) é perpendicular ao raio \(CD\), pelo que o seu declive é \(-\frac{11}{3}\).

Equação da tangente, passando por \(D=\left( 12,0 \right)\): \(y-0=-\frac{11}{3}\left( x-12 \right)\Leftrightarrow y=-\frac{11}{3}x+44\).