Produto escalar e geometria no espaço

Resposta: (C)

O sinal do produto escalar de dois vetores não nulos relaciona-se com a amplitude do ângulo que formam: ângulo agudo \(\to \) produto escalar positivo; vetores perpendiculares \(\to \) produto escalar nulo; ângulo obtuso \(\to \) produto escalar negativo.

Ana: \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=12>0\), logo ângulo agudo, não perpendicular — (A) falsa.

Bruno: \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0\), logo as trajetórias são perpendiculares, o que não garante que o sentido se mantenha — (B) não se pode concluir.

Carlos: \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-8<0\), logo o ângulo entre as duas trajetórias é obtuso — (C) verdadeira.

Como o produto escalar de Carlos é negativo, nem todos os drones formaram ângulos agudos — (D) falsa.

a) ★★

Como \(A\) pertence ao eixo \(Oy\) e ao plano \(ABC\): \(A=\left( 0,a,0 \right)\), com \(4a-12=0\Leftrightarrow a=3\); \(A=\left( 0,3,0 \right)\).

Como \(B\) pertence ao eixo \(Ox\) e ao plano \(ABC\): \(B=\left( b,0,0 \right)\), com \(3b-12=0\Leftrightarrow b=4\); \(B=\left( 4,0,0 \right)\).

A altura do cilindro é a distância entre os centros das bases: \(\overline{AB}=\sqrt{{\left( 4-0 \right)}^{2}+{\left( 0-3 \right)}^{2}}=\sqrt{16+9}=5\).

\(\overline{BC}\) é o raio da base; do volume \(V=\pi \,{\overline{BC}}^{\,2}\times \overline{AB}=10\pi \): \({\overline{BC}}^{\,2}\times 5=10\Leftrightarrow {\overline{BC}}^{\,2}=2\Leftrightarrow \overline{BC}=\sqrt{2}\) (pois \(\overline{BC}>0\)).

b) ★★

O plano \(ABC\) tem equação \(3x+4y+4z-12=0\), com vetor normal \(\overrightarrow{n}=\left( 3,4,4 \right)\), \({\left| \overrightarrow{n} \right|}^{2}=9+16+16=41\).

O ponto do plano mais próximo de \(P\) é o pé da perpendicular ao plano tirada por \(P\): \(Q=P-\frac{3{x}_{P}+4{y}_{P}+4{z}_{P}-12}{{\left| \overrightarrow{n} \right|}^{2}}\,\overrightarrow{n}\).

\(3\left( 3 \right)+4\left( 5 \right)+4\left( 6 \right)-12=9+20+24-12=41\).

\(Q=\left( 3,5,6 \right)-\frac{41}{41}\left( 3,4,4 \right)=\left( 3,5,6 \right)-\left( 3,4,4 \right)=\left( 0,1,2 \right)\).

Verificação: \(3\left( 0 \right)+4\left( 1 \right)+4\left( 2 \right)-12=0+4+8-12=0\), confirmando que \(Q\) pertence ao plano.

\(\overline{OB}=12\) cm e \(\overline{OB}=1,2\,\overline{OA}\), pelo que \(\overline{OA}=\frac{12}{1,2}=10\) cm.

O ponteiro dos minutos, em \(11\) min, percorreu \(11\times {6}^{\circ }={66}^{\circ }\) a partir da posição das \(12\) horas (cada minuto corresponde a \(\frac{{360}^{\circ }}{60}={6}^{\circ }\)).

O ponteiro das horas, às \(10\) h, estaria a \(10\times {30}^{\circ }={300}^{\circ }\) da posição das \(12\) horas (cada hora corresponde a \(\frac{{360}^{\circ }}{12}={30}^{\circ }\)); em \(11\) min adicionais, avança mais \(\frac{11}{60}\times {30}^{\circ }=5,{5}^{\circ }\), totalizando \(305,{5}^{\circ }\).

A amplitude do ângulo \(B\hat{O}A\) entre os dois ponteiros é \(305,{5}^{\circ }-{66}^{\circ }=239,{5}^{\circ }\), ou, tomando o ângulo convexo (não orientado) entre as direções, \({360}^{\circ }-239,{5}^{\circ }=120,{5}^{\circ }\).

Como \(\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}\):

\[\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-\left| \overrightarrow{OA} \right|\times \left| \overrightarrow{OB} \right|\times \cos \left( B\hat{O}A \right)=-10\times 12\times \cos \left( 120,{5}^{\circ } \right)\approx 60,9\]

a) ★★

Numa pirâmide regular, o segmento \(\left[ EF \right]\) (do vértice ao centro da base) é perpendicular ao plano da base.

Como \(\overrightarrow{EF}\left( 0,2,0 \right)\) tem a direção do eixo \(Oy\), o plano da base é perpendicular ao eixo \(Oy\), logo é um plano da forma \(y=k\).

Como o ponto \(F\left( -3,0,2 \right)\) pertence a esse plano, \(k=0\).

Uma equação cartesiana do plano da base é \(y=0\).

b) ★★

Como o plano da base é \(y=0\) (alínea anterior), os vértices \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) têm todos segunda coordenada \(0\), e \(A\), \(B\) estão no plano \(xOz\).

\(\overrightarrow{FA}=A-F=\left( -1,0,2 \right)-\left( -3,0,2 \right)=\left( 2,0,0 \right)\). Como \(\left[ ABCD \right]\) é um quadrado de centro \(F\), os vetores \(\overrightarrow{FA}\) e \(\overrightarrow{FB}\) (de dois vértices consecutivos ao centro) têm igual norma e são perpendiculares entre si (as diagonais de um quadrado são perpendiculares e bissetam-se).

Como \(\overrightarrow{FB}\) está no plano \(y=0\), é perpendicular a \(\overrightarrow{FA}=\left( 2,0,0 \right)\) e tem norma \(2\), as únicas possibilidades são \(\overrightarrow{FB}=\left( 0,0,2 \right)\) ou \(\overrightarrow{FB}=\left( 0,0,-2 \right)\).

Como a cota de \(B\) deve ser superior à cota de \(A\) (cota \(2\)), e \(B=F+\overrightarrow{FB}\), só \(\overrightarrow{FB}=\left( 0,0,2 \right)\) dá \(B=\left( -3,0,4 \right)\), de cota \(4>2\). Logo \(B=\left( -3,0,4 \right)\).

\(\overrightarrow{BF}=F-B=\left( -3,0,2 \right)-\left( -3,0,4 \right)=\left( 0,0,-2 \right)\).

\(\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{FE}=\left( 0,0,-2 \right)•\left( 0,-2,0 \right)=0\times 0+0\times \left( -2 \right)+\left( -2 \right)\times 0=0\) (note-se que \(\overrightarrow{FE}=-\overrightarrow{EF}=\left( 0,-2,0 \right)\)).

c) ★★

Com \(B=\left( -3,0,4 \right)\) e \(F=\left( -3,0,2 \right)\) (determinados na alínea anterior), o plano mediador de \(\left[ BF \right]\) é o plano perpendicular a \(\left[ BF \right]\) que passa pelo seu ponto médio.

\(\overrightarrow{BF}=\left( 0,0,-2 \right)\), com direção \(\left( 0,0,1 \right)\); o ponto médio de \(\left[ BF \right]\) é \(M=\left( -3,0,3 \right)\).

O plano mediador tem equação \(0\left( x+3 \right)+0\left( y-0 \right)+1\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow z=3\).

O ponto \(P\left( 2a,{a}^{2}-1,1-a \right)\) pertence a este plano se e só se \(1-a=3\Leftrightarrow a=-2\).

Substituindo \(a=-2\): \(P\left( 2\times \left( -2 \right),{\left( -2 \right)}^{2}-1,1-\left( -2 \right) \right)=P\left( -4,3,3 \right)\).

Como o vértice \(A\) pertence ao plano \(ACG\) (por definição, este plano é definido pelos pontos \(A\), \(C\) e \(G\)) e a reta \(AP\) é perpendicular a esse plano, o ponto \(A\) é precisamente o pé da perpendicular baixada de \(P\) para o plano \(ACG\) — ou seja, a projeção ortogonal de \(P\) sobre esse plano.

Um vetor normal ao plano \(ACG:2x+2\sqrt{3}y-z-12=0\) é \(\overrightarrow{n}=\left( 2,2\sqrt{3},-1 \right)\). A reta que passa por \(P\left( 2,0,9 \right)\) com a direção de \(\overrightarrow{n}\) tem equação vetorial \(\left( x,y,z \right)=\left( 2,0,9 \right)+t\left( 2,2\sqrt{3},-1 \right)\), \(t\in R\).

\(A\) é o ponto desta reta que pertence ao plano: substituindo \(x=2+2t\), \(y=2\sqrt{3}t\), \(z=9-t\) na equação do plano:

\[2\left( 2+2t \right)+2\sqrt{3}\left( 2\sqrt{3}t \right)-\left( 9-t \right)-12=0\]

\(4+4t+12t-9+t-12=0\Leftrightarrow 17t-17=0\Leftrightarrow t=1\).

\(A=\left( 2+2\times 1, 2\sqrt{3}\times 1, 9-1 \right)=\left( 4, 2\sqrt{3}, 8 \right)\).

Verificação: \(2\left( 4 \right)+2\sqrt{3}\left( 2\sqrt{3} \right)-8-12=8+12-8-12=0\), confirmando que \(A\) pertence ao plano \(ACG\).

a) ★★

Resposta: (C)

Como o prisma é regular (base equilátera), \(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BC}\). Escrevendo \(A=\left( 0,a,0 \right)\) (no eixo \(Oy\)) e \(B=\left( b,0,0 \right)\) (no eixo \(Ox\)), com \(C=\left( 0,0,2 \right)\): \({\overline{AC}}^{2}={a}^{2}+4\), \({\overline{BC}}^{2}={b}^{2}+4\), \({\overline{AB}}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}\).

De \(\overline{AC}=\overline{BC}\): \({a}^{2}={b}^{2}\). De \(\overline{AB}=\overline{AC}\): \({a}^{2}+{b}^{2}={a}^{2}+4\Leftrightarrow {b}^{2}=4\Leftrightarrow b=\pm 2\), e analogamente \(a=\pm 2\).

Como o prisma é reto, a reta \(CF\) (lateral) é perpendicular ao plano \(ABC\), pelo que o plano \(ABC\) é paralelo ao plano \(DEF\): os seus vetores normais devem ser proporcionais. O plano \(DEF\) tem vetor normal \(\left( -1,1,1 \right)\) (coeficientes da equação dada). Testando as \(4\) combinações de sinais para \(\left( a,b \right)\), apenas \(a=2, b=-2\) dá um vetor normal ao plano \(ABC\) proporcional a \(\left( -1,1,1 \right)\) (verificável calculando \(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\) para cada caso).

Logo \(A=\left( 0,2,0 \right)\). A reta \(AC\) passa por \(A=\left( 0,2,0 \right)\) e \(C=\left( 0,0,2 \right)\), com direção \(\overrightarrow{AC}=\left( 0,-2,2 \right)\), proporcional a \(\left( 0,1,-1 \right)\) (ou a \(\left( 0,-1,1 \right)\)).

Testando a opção (C): o ponto \(\left( 0,1,1 \right)\) pertence à reta \(AC\)? Com direção \(\left( 0,1,-1 \right)\): \(\left( 0,1,1 \right)+k\left( 0,1,-1 \right)=\left( 0,1+k,1-k \right)\). Para \(k=1\): \(\left( 0,2,0 \right)=A\). Para \(k=-1\): \(\left( 0,0,2 \right)=C\). Ambos os pontos \(A\) e \(C\) pertencem a esta reta, confirmando a opção (C).

b) ★★

Do item anterior, \(A=\left( 0,2,0 \right)\), \(B=\left( -2,0,0 \right)\), \(C=\left( 0,0,2 \right)\), e o plano \(ABC\) é paralelo ao plano \(DEF\), ambos com vetor normal (proporcional a) \(\left( -1,1,1 \right)\).

Uma equação do plano \(ABC\) (que passa por \(C=\left( 0,0,2 \right)\), com normal \(\left( -1,1,1 \right)\)): \(-x+y+z=-0+0+2=2\), ou seja, \(-x+y+z=2\).

A distância entre os dois planos paralelos \(-x+y+z=2\) e \(-x+y+z=2-3\sqrt{3}\) é \(d=\frac{\left| 2-\left( 2-3\sqrt{3} \right) \right|}{\left∥ \left( -1,1,1 \right) \right∥}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3\).

A distância entre as duas bases do prisma é \(3\).

a) ★★

Resposta: (B)

Um vetor diretor da reta \(DH\) é \(\overrightarrow{u}=\left( 1,3,0 \right)\), que é vetor normal do plano pedido.

O plano tem equação da forma \(x+3y+0z+d=0\).

Como passa em \(G\left( 6,9,0 \right)\): \(6+27+d=0\Leftrightarrow d=-33\).

Logo o plano é \(x+3y-33=0\).

b) ★★★

Ponto \(A\): \(D\) pertence à reta \(DH\), logo \(D=\left( 2+k,-3+3k,4 \right)\); como \(D\) está no plano \(xOz\), \(-3+3k=0\Leftrightarrow k=1\), pelo que \(D=\left( 3,0,4 \right)\) e \(A=\left( 3,0,0 \right)\).

Ponto \(F\): \(\overrightarrow{CG}=G-C=\left( 6,3,-4 \right)\) e \(F=D+\overrightarrow{CG}=\left( 9,3,0 \right)\).

Raio: \(r=\overline{AF}=\sqrt{{\left( 9-3 \right)}^{2}+{3}^{2}+{0}^{2}}=\sqrt{45}\).

A superfície esférica tem equação \({\left( x-3 \right)}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=45\).

a) ★★

Resposta: (B)

\(\left[ FC \right]\) é uma diagonal da face do cubo que contém \(B\), \(C\) e \(F\), e \(\left[ AD \right]\) é uma diagonal da face oposta.

Transportando \(\left[ FC \right]\) para o plano da face que contém \(A\) e \(D\) (as faces são paralelas), obtém-se a outra diagonal dessa face.

Como as diagonais de um quadrado são perpendiculares, \(\overrightarrow{FC}\perp \overrightarrow{AD}\) e, portanto, \(\overrightarrow{FC}\cdot \overrightarrow{AD}=0\).

Os vetores \(\overrightarrow{AG}\) (diagonal espacial) e \(\overrightarrow{AH}\) (diagonal de uma face) formam um ângulo agudo, pelo que \(\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}>0\): as opções (A) e (C) são falsas.

b) ★★★

A aresta \(\left[ AB \right]\) é perpendicular ao plano \(BCF\), pelo que \(\overrightarrow{n}=\left( -3,6,-2 \right)\), vetor normal desse plano, é vetor diretor da reta \(AB\).

Reta \(AB\): \(\left( x,y,z \right)=\left( -3,5,2 \right)+k\left( -3,6,-2 \right)\), \(k\in R\); os pontos da reta têm coordenadas \(\left( -3-3k,\,5+6k,\,2-2k \right)\).

\(B\) é a intersecção com o plano: \(-3\left( -3-3k \right)+6\left( 5+6k \right)-2\left( 2-2k \right)+14=0\Leftrightarrow 49k+49=0\Leftrightarrow k=-1\), donde \(B=\left( 0,-1,4 \right)\).

Aresta: \(\overline{AB}=\sqrt{{3}^{2}+{\left( -6 \right)}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{49}=7\).

Volume \(={7}^{3}=343\).

a) ★★

Resposta: (A)

O centro é \(\left( \frac{1}{2},3,3 \right)\), pelo que a equação é da forma \({\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}+{\left( y-3 \right)}^{2}+{\left( z-3 \right)}^{2}={r}^{2}\): ficam excluídas as opções (B) e (D).

Sendo a superfície esférica tangente ao plano \(xOy\) (de equação \(z=0\)), o raio é igual à distância do centro a esse plano, ou seja, \(r=3\).

Logo \({r}^{2}=9\).

b) ★★★

\(A\) é o ponto de tangência com o plano \(xOy\), logo \(A=\left( \frac{1}{2},3,0 \right)\); \(B\) é o ponto de tangência com o plano \(xOz\), logo \(B=\left( \frac{1}{2},0,3 \right)\).

\(\overrightarrow{AB}=\left( 0,-3,3 \right)\), que é vetor normal do plano \(\alpha \): \(-3y+3z+d=0\). Como \(\alpha \) passa em \(\left( 4,3,-5 \right)\): \(-9-15+d=0\Leftrightarrow d=24\), ou seja, \(\alpha :\,-3y+3z+24=0\).

Reta \(AB\): \(\left( x,y,z \right)=\left( \frac{1}{2},3,0 \right)+k\left( 0,-3,3 \right)\), isto é, pontos da forma \(\left( \frac{1}{2},3-3k,3k \right)\).

Substituindo em \(\alpha \): \(-3\left( 3-3k \right)+3\times 3k+24=0\Leftrightarrow 18k+15=0\Leftrightarrow k=-\frac{5}{6}\).

O ponto pedido é \(\left( \frac{1}{2},\frac{11}{2},-\frac{5}{2} \right)\).

O comprimento de arco é \(\alpha r\), com \(\alpha \) em radianos: \(\alpha \times 4=\frac{8\pi }{3}\Leftrightarrow \alpha =\frac{2\pi }{3}\), amplitude do ângulo \(AOB\).

O triângulo \(\left[ AOB \right]\) é isósceles (\(\overline{OA}=\overline{OB}=4\)), pelo que \(B\hat{A}O=O\hat{B}A=\frac{\pi -\frac{2\pi }{3}}{2}=\frac{\pi }{6}\).

Sendo \(M\) o ponto médio de \(\left[ AB \right]\): \(\overline{AM}=4\cos \frac{\pi }{6}=2\sqrt{3}\), logo \(\overline{AB}=4\sqrt{3}\).

\(\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\overline{AO}\times \overline{AB}\times \cos \left( B\hat{A}O \right)=4\times 4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=24\).

A circunferência tem raio \(2\), pelo que \(\overline{CA}=\overline{CB}=2\) e o triângulo \(\left[ ABC \right]\) é isósceles.

Sendo \(M\) o ponto médio de \(\left[ AB \right]\), \(\left[ CM \right]\) é altura do triângulo e \(\cos \alpha =\frac{\overline{AM}}{2}\), ou seja, \(\overline{AM}=2\cos \alpha \) e \(\overline{AB}=4\cos \alpha \).

\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overline{AB}\times \overline{AC}\times \cos \alpha =4\cos \alpha \times 2\times \cos \alpha =8{\cos }^{2}\alpha \).

\(8{\cos }^{2}\alpha =6\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) (pois \(\alpha \) é agudo), donde \(\alpha =\frac{\pi }{6}\).

O triângulo é isósceles, logo \(A\hat{B}C=\alpha \) e o ângulo ao centro é \(A\hat{C}B=\pi -2\times \frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}\).

Comprimento do arco \(=\frac{2\pi }{3}\times 2=\frac{4\pi }{3}\).

a) ★★

Resposta: (B)

Um vetor diretor de \(DF\) é \(\overrightarrow{u}=\left( 1,1,-5 \right)\). A reta pedida tem de ter vetor diretor \(\overrightarrow{v}\) tal que \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0\).

Para \(\overrightarrow{v}=\left( 5,0,-1 \right)\): \(5+0+5=10\ne 0\) — exclui (A) e (C). Para \(\overrightarrow{v}=\left( 0,5,1 \right)\): \(0+5-5=0\) — serve.

Resta verificar qual das retas (B) e (D) passa em \(A\left( 4,2,0 \right)\): em (B), \(\left( 4,-3,-1 \right)+k\left( 0,5,1 \right)=\left( 4,2,0 \right)\) para \(k=1\). Em (D) não há solução.

b) ★★★

\(C\) pertence ao plano mediador de \(\left[ AB \right]\) e à reta \(BC\), que é paralela a \(DF\) (arestas correspondentes do prisma): \(\left( x,y,z \right)=\left( 2,3,-3 \right)+k\left( 1,1,-5 \right)\), ou seja, \(C=\left( 2+k,\,3+k,\,-3-5k \right)\).

Plano mediador: vetor normal \(\overrightarrow{AB}=\left( -2,1,-3 \right)\) e ponto médio de \(\left[ AB \right]\), \(\left( 3,\frac{5}{2},-\frac{3}{2} \right)\): \(-2x+y-3z+d=0\) com \(-6+\frac{5}{2}+\frac{9}{2}+d=0\Leftrightarrow d=-1\).

Substituindo as coordenadas de \(C\): \(-2\left( 2+k \right)+\left( 3+k \right)-3\left( -3-5k \right)-1=0\Leftrightarrow 14k+7=0\Leftrightarrow k=-\frac{1}{2}\).

\(C=\left( \frac{3}{2},\frac{5}{2},-\frac{1}{2} \right)\).

a) ★★

Resposta: (D)

Na base quadrada \(\left[ ABCD \right]\), \(\left[ AC \right]\) é uma diagonal e o ângulo \(BAC\) tem amplitude \(\frac{\pi }{4}\).

\(\overline{AB}=\sqrt{6}\) e \(\overline{AC}=\sqrt{6}\times \sqrt{2}=\sqrt{12}\).

\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\sqrt{6}\times \sqrt{12}\times \cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{72}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=6\).

b) ★★★

A base tem área \({\left( \sqrt{6} \right)}^{2}=6\); do volume, \(\frac{1}{3}\times 6\times h=4\sqrt{6}\Leftrightarrow h=2\sqrt{6}\), ou seja, \(\overline{MV}=2\sqrt{6}\).

A reta \(MV\) é perpendicular ao plano da base, pelo que tem a direção do vetor normal \(\left( 2,-1,1 \right)\): \(V=\left( 2+2k,\,-1-k,\,3+k \right)\).

\(\left∥ \overrightarrow{MV} \right∥=\sqrt{{\left( 2k \right)}^{2}+{\left( -k \right)}^{2}+{k}^{2}}=\sqrt{6{k}^{2}}\); de \(6{k}^{2}=24\) vem \(k=\pm 2\).

Como \(V\) tem abcissa positiva e maior do que a de \(M\), toma-se \(k=2\): \(V=\left( 6,-3,5 \right)\).

Das condições dadas: \(A=\left( 15,0 \right)\), \(C=\left( 0,8 \right)\) e \(B=\left( 15,8 \right)\). Sendo \(d\) a abcissa de \(D\), tem-se \(D=\left( d,0 \right)\), com \(0\le d\le 15\).

\(\overrightarrow{DC}=C-D=\left( -d,8 \right)\) e \(\overrightarrow{DB}=B-D=\left( 15-d,8 \right)\).

\(\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DB}=-d\left( 15-d \right)+64={d}^{2}-15d+64\).

\({d}^{2}-15d+64=50\Leftrightarrow {d}^{2}-15d+14=0\Leftrightarrow d=1 \lor  d=14\).

Como \(\overline{OD}<\overline{DA}\), vem \(d=1\) e \(D=\left( 1,0 \right)\).

a) ★★

Resposta: (A)

A reta \(CD\) está contida na base \(\left[ ABCD \right]\), que pertence ao plano \(x=3\): a abcissa do ponto tem de ser \(3\) — ficam excluídas as opções (C) e (D).

A reta \(CD\) está também contida no plano \(CDE\), de equação \(5y+2z-62=0\).

Para \(\left( 3,4,21 \right)\): \(5\times 4+2\times 21-62=20+42-62=0\) — verifica.

Para \(\left( 3,6,18 \right)\): \(30+36-62=4\ne 0\) — não verifica.

b) ★★★

A aresta lateral \(\left[ EF \right]\) é perpendicular à base \(\left[ EFGH \right]\), que está contida no plano \(CDE\); logo \(\overrightarrow{n}=\left( 0,5,2 \right)\), normal desse plano, é vetor diretor da reta \(EF\).

Reta \(EF\): \(\left( x,y,z \right)=\left( -9,0,2 \right)+k\left( 0,5,2 \right)\), ou seja, \(E=\left( -9,5k,2+2k \right)\).

Como \(E\) pertence ao plano \(CDE\): \(5\times 5k+2\left( 2+2k \right)-62=0\Leftrightarrow 29k=58\Leftrightarrow k=2\), donde \(E=\left( -9,10,6 \right)\).

\(\overline{EF}=\sqrt{{0}^{2}+{10}^{2}+{4}^{2}}=\sqrt{116}\), que é a aresta da base quadrada; a área da base é \(116\).

A altura do prisma é a distância entre os planos das bases, \(x=3\) e o plano paralelo que contém \(F\) (de abcissa \(-9\)): \(\overline{AF}=3-\left( -9 \right)=12\).

Volume \(=116\times 12=1392\).

a) ★★

Resposta: (A)

A face \(\left[ ABFE \right]\) é perpendicular à reta \(BC\) (as bases são trapézios retângulos e \(\left[ BC \right]\) é a aresta perpendicular a \(\left[ AB \right]\)), pelo que \(\overrightarrow{u}=\left( 2,3,6 \right)\), vetor diretor de \(BC\), é vetor normal do plano \(ABF\).

O plano tem, então, equação da forma \(2x+3y+6z+d=0\) — ficam excluídas as opções (C) e (D).

Como passa em \(A\left( 4,-4,-3 \right)\): \(8-12-18+d=0\Leftrightarrow d=22\).

b) ★★★

\(B\) pertence à reta \(BC\), logo \(B=\left( 3+2k,\,5+3k,\,1+6k \right)\), e tem ordenada igual ao dobro da abcissa: \(5+3k=2\left( 3+2k \right)\Leftrightarrow k=-1\), donde \(B=\left( 1,2,-5 \right)\).

\(\overrightarrow{OA}=\left( 4,-4,-3 \right)\) e \(\overrightarrow{OB}=\left( 1,2,-5 \right)\).

\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=4-8+15=11\).

\(\left∥ \overrightarrow{OA} \right∥=\sqrt{16+16+9}=\sqrt{41}\) e \(\left∥ \overrightarrow{OB} \right∥=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}\).

\(\cos \left( A\hat{O}B \right)=\frac{11}{\sqrt{41}\sqrt{30}}\), donde \(A\hat{O}B\approx {72}^{\circ }\).

a) ★★

Resposta: (C)

\(A=\left( 0,4,0 \right)\). Um vetor diretor de \(FC\) é \(\left( -5,-1,7 \right)\), pelo que \(\left( 5,1,-7 \right)\), seu simétrico, também o é — ficam excluídas as opções (A) e (B), cujos vetores não são paralelos a este.

Falta verificar se o ponto dado em (C) ou em (D) pertence à reta que passa em \(A\) com direção \(\left( 5,1,-7 \right)\): \(\left( 0,4,0 \right)+t\left( 5,1,-7 \right)=\left( 5t,4+t,-7t \right)\).

Para \(\left( -10,2,14 \right)\): de \(-7t=14\) vem \(t=-2\); \(5\times \left( -2 \right)=-10\) ✓ e \(4+\left( -2 \right)=2\) ✓ — verifica-se.

Para \(\left( 10,2,-14 \right)\): de \(5t=10\) vem \(t=2\), mas \(4+2=6\ne 2\) — não se verifica.

A opção correta é, portanto, a (C).

b) ★★★

Como \(\left[ ABCDEFGH \right]\) é um cubo, \(\left[ FC \right]\) (vértices opostos) é uma diagonal espacial, logo um diâmetro da superfície esférica que contém todos os vértices.

O ponto \(F\) pertence ao plano \(xOy\) (cota nula) e, sendo da forma \(\left( -5-5k,2-k,14+7k \right)\), tem cota nula para \(14+7k=0\Leftrightarrow k=-2\), donde \(F=\left( 5,4,0 \right)\).

O ponto \(C\) tem abcissa nula (pertence ao plano \(ABC\), \(x=0\)): \(-5-5k=0\Leftrightarrow k=-1\), donde \(C=\left( 0,3,7 \right)\).

O centro da superfície esférica é o ponto médio de \(\left[ FC \right]\): \(\left( \frac{5+0}{2},\frac{4+3}{2},\frac{0+7}{2} \right)=\left( \frac{5}{2},\frac{7}{2},\frac{7}{2} \right)\).

O raio é metade de \(\overline{FC}\): \(\overline{FC}=\sqrt{{\left( -5 \right)}^{2}+{\left( -1 \right)}^{2}+{7}^{2}}=\sqrt{75}\), pelo que o raio é \(\frac{\sqrt{75}}{2}\).

A equação cartesiana reduzida é

\[{\left( x-\frac{5}{2} \right)}^{2}+{\left( y-\frac{7}{2} \right)}^{2}+{\left( z-\frac{7}{2} \right)}^{2}=\frac{75}{4}\]

Como \(\left[ PQ \right]\) é um diâmetro, pelo teorema do ângulo inscrito (Tales), o ângulo \(P\hat{R}Q\) é reto.

\(\overline{PQ}=2\times 3=6\) (diâmetro). No triângulo retângulo \(\left[ PQR \right]\), reto em \(R\), com \(\alpha =Q\hat{P}R\): \(\overline{QR}=\overline{PQ}\operatorname{sen}\alpha =6\operatorname{sen}\alpha \), e o ângulo \(P\hat{Q}R=\frac{\pi }{2}-\alpha \).

O ângulo entre os vetores \(\overrightarrow{QR}\) e \(\overrightarrow{QP}\), com origem comum em \(Q\), é precisamente o ângulo \(P\hat{Q}R=\frac{\pi }{2}-\alpha \).

\(\overrightarrow{QR}\cdot \overrightarrow{QP}=\left∥ \overrightarrow{QR} \right∥\left∥ \overrightarrow{QP} \right∥\cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)=6\operatorname{sen}\alpha \times 6\times \operatorname{sen}\alpha =36{\operatorname{sen}}^{2}\alpha \).

\(36{\operatorname{sen}}^{2}\alpha =27\Leftrightarrow {\operatorname{sen}}^{2}\alpha =\frac{3}{4}\Leftrightarrow \operatorname{sen}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) (pois \(\alpha \) é ângulo agudo de um triângulo retângulo).

Logo \(\alpha =\frac{\pi }{3}\).

a) ★★

Resposta: (C)

Um plano paralelo a \(x+2y-8=0\) tem a mesma normal, pelo que é da forma \(x+2y+d=0\) — ficam excluídas as opções (A) e (D).

Substituindo o ponto \(\left( 1,-3,5 \right)\): \(1+2\times \left( -3 \right)+d=0\Leftrightarrow 1-6+d=0\Leftrightarrow d=5\).

A equação é \(x+2y+5=0\).

b) ★★★

\(A\) pertence ao semieixo \(Ox\) e ao plano: \(A=\left( 8,0,0 \right)\). \(B\) pertence ao semieixo \(Oy\) e ao plano: \(B=\left( 0,4,0 \right)\).

O centro da base é o ponto médio de \(\left[ AB \right]\): \(\left( \frac{8+0}{2},\frac{0+4}{2},0 \right)=\left( 4,2,0 \right)\).

Como o cone é reto, \(V\) está sobre a reta que passa pelo centro da base com a direção da normal ao plano da base, \(\left( 1,2,0 \right)\): \(V=\left( 4+k,\,2+2k,\,0 \right)\), \(k\in R\).

A condição “a abcissa de \(V\) tem menos uma unidade do que a sua ordenada” traduz-se por \(4+k=\left( 2+2k \right)-1\).

\(4+k=1+2k\Leftrightarrow k=3\).

\(V=\left( 4+3,\,2+6,\,0 \right)=\left( 7,8,0 \right)\).

a) ★★

Resposta: (B)

Como o prisma é reto e as bases \(\left[ ABC \right]\) e \(\left[ OED \right]\) correspondem por translação (\(A\leftrightarrow O\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow D\)), a translação preserva direções: a direção de \(OD\) é a mesma de \(AC\), ou seja, \(\left( 0,4,3 \right)\) (paralela a \(\left( 0,2,\frac{3}{2} \right)\)) — ficam excluídas as opções (C) e (D), cuja direção \(\left( 0,3,-4 \right)\) não é paralela a \(\left( 0,4,3 \right)\) (é, aliás, perpendicular).

Resta verificar qual ponto pertence à reta que passa em \(O=\left( 0,0,0 \right)\) com direção \(\left( 0,4,3 \right)\): \(\left( 0,4t,3t \right)\).

Para \(\left( 0,-4,-3 \right)\): \(4t=-4\Rightarrow t=-1\); \(3t=-3\) ✓ — verifica-se.

Para \(\left( 0,6,8 \right)\): \(4t=6\Rightarrow t=1,5\); \(3t=4,5\ne 8\) — não se verifica.

A opção correta é a (B).

b) ★★★

\(E\) pertence ao semieixo positivo \(Oy\) e \(\overline{OE}=12,5\): \(E=\left( 0,12,5,0 \right)\).

Como o prisma é reto, a translação que leva a base \(\left[ ABC \right]\) à base \(\left[ OED \right]\) é a mesma para todos os vértices correspondentes: \(O-A=E-B=D-C\).

\(O-A=\left( 0,0,0 \right)-\left( 10,0,0 \right)=\left( -10,0,0 \right)\). Logo \(B=E-\left( O-A \right)=\left( 0,12,5,0 \right)+\left( 10,0,0 \right)=\left( 10,12,5,0 \right)\).

\(C\) pertence à reta \(AC\): \(C=\left( 10,0,0 \right)+k\left( 0,4,3 \right)=\left( 10,4k,3k \right)\), para algum \(k\in R\).

Como \(\left[ AB \right]\) é diâmetro da semicircunferência onde \(C\) está inscrito, pelo teorema do ângulo inscrito, o ângulo \(A\hat{C}B\) é reto, ou seja, \(\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0\).

\(\overrightarrow{CA}=A-C=\left( 0,-4k,-3k \right)\) e \(\overrightarrow{CB}=B-C=\left( 0,12,5-4k,-3k \right)\).

\(\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=-4k\left( 12,5-4k \right)+9{k}^{2}=-50k+16{k}^{2}+9{k}^{2}=25{k}^{2}-50k=0\Leftrightarrow 25k\left( k-2 \right)=0\).

Logo \(k=0\) (excluído, dava \(C=A\)) ou \(k=2\).

\(C=\left( 10,8,6 \right)\).

a) ★★

Resposta: (A)

O centro da superfície esférica é o ponto médio de \(\left[ AG \right]\): \(\left( \frac{4+12}{2},\frac{0+\frac{13}{2}}{2},\frac{0+2}{2} \right)=\left( 8,\frac{13}{4},1 \right)\).

O raio é metade de \(\overline{AG}\): \(\overline{AG}=\sqrt{{\left( 12-4 \right)}^{2}+{\left( \frac{13}{2} \right)}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{64+\frac{169}{4}+4}=\sqrt{\frac{441}{4}}=\frac{21}{2}\), pelo que o raio é \(\frac{21}{4}\) e o raio ao quadrado é \(\frac{441}{16}\).

A equação é \({\left( x-8 \right)}^{2}+{\left( y-\frac{13}{4} \right)}^{2}+{\left( z-1 \right)}^{2}=\frac{441}{16}\).

b) ★★★

Como o prisma é reto, as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. A reta \(EL\), que une dois vértices de bases diferentes situados na mesma face lateral \(\left[ EFLK \right]\)… na verdade, como a reta \(EL\) tem direção \(\left( 3,4,0 \right)\) e \(E\) pertence à base \(\left[ ABCDEF \right]\), essa direção é perpendicular ao plano da base \(\left[ ABC \right]\) que contém \(A\) e \(F\); logo \(\left( 3,4,0 \right)\) é um vetor normal ao plano \(ABC\).

Uma equação do plano \(ABC\), com vetor normal \(\left( 3,4,0 \right)\) e passando por \(A=\left( 4,0,0 \right)\): \(3x+4y+d=0\), com \(3\times 4+4\times 0+d=0\Leftrightarrow d=-12\). Equação: \(3x+4y-12=0\).

A reta \(FG\) é paralela à reta \(EL\) (ambas são arestas/segmentos com a direção \(\left( 3,4,0 \right)\), perpendicular às bases), pelo que as coordenadas de \(F\) são da forma

\[F=\left( 12+3k, \frac{13}{2}+4k, 2 \right), k\in R.\]

Como \(F\) pertence ao plano \(ABC\):

\[3\left( 12+3k \right)+4\left( \frac{13}{2}+4k \right)-12=0\Leftrightarrow 36+9k+26+16k-12=0\Leftrightarrow 25k+50=0\Leftrightarrow k=-2.\]

Substituindo: \(F=\left( 12-6, \frac{13}{2}-8, 2 \right)=\left( 6,-\frac{3}{2},2 \right)\).

Seja \(a=\overline{OA}\). Como \(\overline{OD}=\frac{a}{3}\) e \(\overline{OC}=\frac{a}{4}\), em coordenadas: \(O=\left( 0,0 \right)\), \(D=\left( \frac{a}{3},0 \right)\), \(C=\left( 0,\frac{a}{4} \right)\).

Como \(\overline{EB}=\frac{a}{3}\) e \(E\) pertence a \(\left[ CB \right]\) com \(\overline{OC}=\overline{AB}=\frac{a}{4}\) (lados do retângulo), e \(B=\left( a,\frac{a}{4} \right)\), vem \(E=\left( a-\frac{a}{3},\frac{a}{4} \right)=\left( \frac{2a}{3},\frac{a}{4} \right)\).

\(\overrightarrow{DC}=C-D=\left( -\frac{a}{3},\frac{a}{4} \right)\) e \(\overrightarrow{DE}=E-D=\left( \frac{2a}{3}-\frac{a}{3},\frac{a}{4} \right)=\left( \frac{a}{3},\frac{a}{4} \right)\).

\[\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DE}=-\frac{a}{3}\times \frac{a}{3}+\frac{a}{4}\times \frac{a}{4}=-\frac{{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{16}.\]

Da condição dada: \(-\frac{{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{16}=-7\Leftrightarrow {a}^{2}\left( \frac{1}{16}-\frac{1}{9} \right)=-7\Leftrightarrow {a}^{2}\times \left( -\frac{7}{144} \right)=-7\Leftrightarrow {a}^{2}=144.\)

Como \(a=\overline{OA}>0\), \(a=12\). Logo, \(\overline{OA}=12\).

a) ★

Resposta: (C)

Um plano perpendicular ao eixo \(Ox\) é um plano horizontal relativamente a essa direção, de equação \(x=c\) para alguma constante \(c\); para passar em \(A=\left( 2\sqrt{3},6,0 \right)\), tem de ser \(x=2\sqrt{3}\).

b) ★★★

Os pontos da reta \(AB\) são da forma \(\left( \sqrt{3}k,16-5k,0 \right)\); para \(k=2\) obtém-se \(\left( 2\sqrt{3},6,0 \right)=A\), confirmando que \(A\) pertence a essa reta.

Como \(B\) pertence ao plano mediador de \(\left[ OA \right]\), tem-se \(\overline{BO}=\overline{BA}\). Sendo \(B=\left( \sqrt{3}k,16-5k,0 \right)\) para algum \(k\):

\[{\overline{BO}}^{2}=3{k}^{2}+{\left( 16-5k \right)}^{2},  {\overline{BA}}^{2}=3{\left( k-2 \right)}^{2}+{\left( 10-5k \right)}^{2}.\]

Igualando e simplificando: \(28{k}^{2}-160k+256=28{k}^{2}-112k+112\Leftrightarrow -48k=-144\Leftrightarrow k=3\).

Logo \(B=\left( 3\sqrt{3},16-15,0 \right)=\left( 3\sqrt{3},1,0 \right)\).

Como \(O\), \(A\) e \(B\) têm cota \(0\), a base \(\left[ OAB \right]\) está contida no plano \(z=0\), e a sua área é

\[\text{Área}=\frac{1}{2}\left| {x}_{A}{y}_{B}-{x}_{B}{y}_{A} \right|=\frac{1}{2}\left| 2\sqrt{3}\times 1-3\sqrt{3}\times 6 \right|=\frac{1}{2}\left| 2\sqrt{3}-18\sqrt{3} \right|=\frac{1}{2}\times 16\sqrt{3}=8\sqrt{3}.\]

Como o prisma é reto e a base \(\left[ OAB \right]\) está no plano horizontal \(z=0\), as arestas laterais são verticais; sendo \(D\) (vértice da outra base, situado sobre a reta que passa em \(O\) perpendicularmente à base) o ponto do eixo \(Oz\) de cota \(5\), a altura do prisma é \(5\).

O volume do prisma é

\[V=\text{Área da base}\times \text{altura}=8\sqrt{3}\times 5=40\sqrt{3}.\]

a) ★★

Resposta: (D)

O plano \(4y-3z=16\) tem vetor normal \(\left( 0,4,-3 \right)\).

Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais forem perpendiculares (produto escalar nulo). Testando os vetores normais de cada opção com \(\left( 0,4,-3 \right)\):

(A): normal \(\left( 0,4,-3 \right)\), o mesmo (a menos de escala); \(\left( 0,4,-3 \right)\cdot \left( 0,4,-3 \right)=25\ne 0\) — não é perpendicular (é paralelo).

(B): normal \(\left( 3,4,1 \right)\); \(\left( 0,4,-3 \right)\cdot \left( 3,4,1 \right)=0+16-3=13\ne 0\) — não é perpendicular.

(C): normal \(\left( 0,3,4 \right)\); \(\left( 0,4,-3 \right)\cdot \left( 0,3,4 \right)=0+12-12=0\) — é perpendicular, mas \(3\times 2+4\times \left( -1 \right)=6-4=2\ne 8\), não passa no ponto dado.

(D): normal \(\left( 1,3,4 \right)\); \(\left( 0,4,-3 \right)\cdot \left( 1,3,4 \right)=0+12-12=0\) — é perpendicular; e \(1+3\times 2+4\times \left( -1 \right)=1+6-4=3\), que coincide com o segundo membro da equação: o ponto \(\left( 1,2,-1 \right)\) satisfaz \(x+3y+4z=3\).

Logo, a opção correta é a (D).

b) ★★★

Como \(A\) pertence ao eixo \(Oy\), \(A=\left( 0,a,0 \right)\); como \(A\) é o centro da base, pertence ao plano da base: \(4a-3\times 0=16\Leftrightarrow a=4\). Logo \(A=\left( 0,4,0 \right)\).

Como \(V\) pertence ao eixo \(Oz\), \(V=\left( 0,0,{h}_{0} \right)\). Sendo o cone reto, o segmento \(\left[ VA \right]\) (eixo do cone) é perpendicular ao plano da base, pelo que \(\overrightarrow{VA}=\left( 0,4,-{h}_{0} \right)\) é paralelo ao vetor normal desse plano, \(\left( 0,4,-3 \right)\): \(\left( 0,4,-{h}_{0} \right)=k\left( 0,4,-3 \right)\), com \(k=1\) (pela segunda coordenada), donde \({h}_{0}=3\). Logo \(V=\left( 0,0,3 \right)\).

A altura do cone é \(\overline{VA}=\sqrt{{0}^{2}+{4}^{2}+{\left( -3 \right)}^{2}}=\sqrt{25}=5\).

Sendo o raio da base \(3\), o volume do cone é

\[V=\frac{1}{3}\pi {r}^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times {3}^{2}\times 5=15\pi .\]

Da equação da circunferência, o raio é \(\sqrt{9}=3\).

Sendo \(\theta =A\hat{C}B\) (em radianos), o comprimento do arco \(AB\) é \(r\theta \), pelo que \(3\theta =2\pi \Leftrightarrow \theta =\frac{2\pi }{3}\).

\[\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\parallel \overrightarrow{CA}\parallel \times \parallel \overrightarrow{CB}\parallel \times \cos \theta =3\times 3\times \cos \left( \frac{2\pi }{3} \right)=9\times \left( -\frac{1}{2} \right)=-\frac{9}{2}.\]

a) ★★

Resposta: (B)

\(\left[ ABHG \right]\) é uma face do cubo, pelo que \(\overrightarrow{AB}\) pertence ao plano dessa face.

\(\left[ HE \right]\) é uma aresta lateral do cubo, perpendicular a essa face (e portanto a \(\overrightarrow{AB}\)).

Como os dois vetores são perpendiculares, \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{HE}=0\).

b) ★★★

As arestas laterais \(\left[ BC \right]\), \(\left[ AD \right]\), \(\left[ HE \right]\) e \(\left[ GF \right]\) são paralelas e iguais, pelo que \(\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{BC}=C-B=\left( 2,3,6 \right)\).

\(\overrightarrow{BA}=A-B=\left( -3,6,-2 \right)\), com \(\parallel \overrightarrow{BA}\parallel =\sqrt{9+36+4}=7=\parallel \overrightarrow{BC}\parallel \), a aresta do cubo.

\(\overrightarrow{AH}\) é perpendicular a \(\overrightarrow{BA}\) e a \(\overrightarrow{BC}\) (normal à face \(\left[ ABHG \right]\)) e tem o mesmo comprimento; é dado, a menos do sentido, por \(\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\), dividido pela sua norma:

\[\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}=\left( -3,6,-2 \right)\times \left( 2,3,6 \right)=\left( 42,14,-21 \right), \parallel \,\cdot \,\parallel =49\]

Dividindo por \(7\): \(\left( 6,2,-3 \right)\); testando o sentido com a reta dada, o que resulta em \(E\) sobre essa reta é \(\overrightarrow{AH}=\left( -6,-2,3 \right)\).

\(H=A+\overrightarrow{AH}=\left( -2-6,\,5-2,\,0+3 \right)=\left( -8,3,3 \right)\).

\(E=H+\overrightarrow{HE}=\left( -8+2,\,3+3,\,3+6 \right)=\left( -6,6,9 \right)\).

Confirmação: para \(k=-6\), \(\left( 0,0,3 \right)+\left( -6 \right)\left( 1,-1,-1 \right)=\left( -6,6,9 \right)=E\). Logo \(E=\left( -6,6,9 \right)\).

a) ★★

Resposta: (B)

\(\left[ ABCDEF \right]\) é a base inferior do prisma (em \(z=0\)) e \(\left[ GHIJKL \right]\) é a base superior, obtida da primeira por translação de altura \(h\) do prisma.

O centro do prisma \(M\) tem cota \(2\) e é o ponto médio, em altura, entre as duas bases, pelo que \(h=2\times 2=4\).

Logo a base \(\left[ GHIJKL \right]\) está contida no plano \(z=4\).

b) ★★★

Como o hexágono \(\left[ ABCDEF \right]\) é regular e \(A\), \(B\) pertencem a \(Ox\) (aresta \(\left[ AB \right]\) sobre \(Ox\)) e \(F\) pertence a \(Oy\), e sendo \(M\left( \frac{4}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3},2 \right)\) o centro do prisma (logo \(\left( \frac{4}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3},0 \right)\) o centro do hexágono da base), determina-se o lado do hexágono, \(ℓ=\frac{4}{3}\), e as coordenadas dos vértices da base:

\[A\left( \frac{2}{3},0,0 \right), B\left( 2,0,0 \right), C\left( \frac{8}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3},0 \right), D\left( 2,\frac{4\sqrt{3}}{3},0 \right), E\left( \frac{2}{3},\frac{4\sqrt{3}}{3},0 \right), F\left( 0,\frac{2\sqrt{3}}{3},0 \right)\]

Como \(L\) é o vértice da base superior imediatamente acima de \(E\) (aresta lateral vertical \(\left[ EL \right]\)), o plano \(LEF\) contém essa aresta vertical, pelo que é um plano vertical (sem restrição em \(z\)), coincidente com o plano que contém a reta \(EF\).

\(\overrightarrow{EF}=F-E=\left( -\frac{2}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{3},0 \right)\), paralelo a \(\left( 1,\sqrt{3},0 \right)\); um vetor normal ao plano (perpendicular a esta direção, no plano \(Oxy\)) é \(\left( \sqrt{3},-1,0 \right)\).

A equação do plano, usando o ponto \(F\left( 0,\frac{2\sqrt{3}}{3},0 \right)\): \(\sqrt{3}\,x-\left( y-\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{3}\,x-y+\frac{2\sqrt{3}}{3}=0\).

Multiplicando por \(\sqrt{3}\): \(3x-\sqrt{3}\,y+2=0\).

a) ★★

Resposta: (C)

A reta \(EF\) tem vetor diretor \(\overrightarrow{d}=\left( -3,-2,2 \right)\). Uma reta perpendicular a \(EF\) tem vetor diretor \(\overrightarrow{u}\) tal que \(\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{u}=0\).

Em (C), \(\overrightarrow{u}=\left( 0,3,3 \right)\): \(\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{u}=\left( -3 \right)\left( 0 \right)+\left( -2 \right)\left( 3 \right)+2\left( 3 \right)=-6+6=0\) — perpendicular.

Testando se a reta de (C) passa em \(E\left( 7,2,15 \right)\): \(\left( 7,-10,3 \right)+k\left( 0,3,3 \right)=\left( 7,2,15 \right)\Leftrightarrow -10+3k=2\land 3+3k=15\Leftrightarrow k=4\) (ambas as equações dão \(k=4\)) — passa em \(E\).

Nas restantes opções, ou o vetor diretor não é perpendicular a \(\overrightarrow{d}\) (opções (B) e (D), com \(\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{u}=-12\ne 0\)), ou a reta não passa em \(E\) (opção (A)).

b) ★★★

Da figura, as arestas laterais do paralelepípedo são \(\left[ AF \right]\), \(\left[ BG \right]\), \(\left[ CH \right]\) e \(\left[ DE \right]\) (todas iguais e paralelas, vetor \(\overrightarrow{t}\)).

De \(\overrightarrow{t}=\overrightarrow{BG}=G-B\) e \(\overrightarrow{t}=\overrightarrow{DE}=E-D\), com \(A=\left( a,0,0 \right)\) e \(B=\left( 0,b,0 \right)\) (nos eixos \(Ox\) e \(Oy\)): \(\overrightarrow{DA}=D-A\) é paralelo ao vetor diretor de \(EF\), \(\left( -3,-2,2 \right)\) (pois \(\overrightarrow{EF}=F-E=\left( A+\overrightarrow{t} \right)-\left( D+\overrightarrow{t} \right)=A-D\)).

Calculando \(D=E-\overrightarrow{t}\) com \(\overrightarrow{t}=G-B=\left( 6,10-b,13 \right)\): \(D=\left( 1,b-8,2 \right)\); de \(D-A=\left( 1-a,b-8,2 \right)\) paralelo a \(\left( -3,-2,2 \right)\) e com a componente em \(z\) igual (\(2=2m\Rightarrow m=1\)): \(1-a=-3\Rightarrow a=4\) e \(b-8=-2\Rightarrow b=6\).

Logo \(A=\left( 4,0,0 \right)\), \(B=\left( 0,6,0 \right)\), \(\overrightarrow{t}=\left( 6,4,13 \right)\), e \(D=E-\overrightarrow{t}=\left( 7,2,15 \right)-\left( 6,4,13 \right)=\left( 1,-2,2 \right)\).

O raio da superfície esférica é \(\overline{BD}=\sqrt{{\left( 1-0 \right)}^{2}+{\left( -2-6 \right)}^{2}+{\left( 2-0 \right)}^{2}}=\sqrt{1+64+4}=\sqrt{69}\).

A equação reduzida é \({x}^{2}+{\left( y-6 \right)}^{2}+{z}^{2}=69\).

a) ★★

O raio é \(\overline{RQ}=\sqrt{{\left( -2+5 \right)}^{2}+{\left( 1-5 \right)}^{2}+{\left( 1+3 \right)}^{2}}=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41}\).

A superfície esférica de centro \(R\left( -5,5,-3 \right)\) e raio \(\sqrt{41}\) tem equação \({\left( x+5 \right)}^{2}+{\left( y-5 \right)}^{2}+{\left( z+3 \right)}^{2}=41\).

Resposta: (C)

b) ★★★

Como \(\left[ PQ \right]\) e \(\left[ RS \right]\) são as bases do trapézio, a reta \(RS\) é paralela à reta \(PQ\), pelo que um vetor diretor de \(RS\) é \(\overrightarrow{PQ}=Q-P=\left( -3,2,-1 \right)\).

O plano perpendicular à reta \(RS\) e que passa em \(P\left( 1,-1,2 \right)\) tem \(\overrightarrow{PQ}\) como vetor normal: \(-3\left( x-1 \right)+2\left( y+1 \right)-1\left( z-2 \right)=0\).

Desenvolvendo: \(-3x+3+2y+2-z+2=0\Leftrightarrow -3x+2y-z+7=0\Leftrightarrow 3x-2y+z-7=0\).

a) ★★

O plano \(\alpha \) é perpendicular à reta \(BE\), pelo que \(\overrightarrow{BE}=\left( -1,6,2 \right)\) é um vetor normal a \(\alpha \).

A equação de \(\alpha \), passando no ponto \(\left( 1,0,1 \right)\), é \(-1\left( x-1 \right)+6\left( y-0 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow -x+1+6y+2z-2=0\Leftrightarrow -x+6y+2z-1=0\).

Multiplicando por \(-1\): \(x-6y-2z+1=0\).

Resposta: (C)

b) ★★★

Como \(\overrightarrow{BE}=E-B=\left( -1,6,2 \right)\) e \(E=\left( -2,6,2 \right)\), vem \(B=E-\overrightarrow{BE}=\left( -2-\left( -1 \right),6-6,2-2 \right)=\left( -1,0,0 \right)\), o que é consistente com \(B\) pertencer ao semieixo negativo \(Ox\).

Sendo a pirâmide regular, o apótema \(E\) projeta-se ortogonalmente no centro do quadrado \(\left[ ABCD \right]\); como a base está no plano \(xOz\) (\(y=0\)), esse centro é a projeção de \(E\) nesse plano: \(M=\left( -2,0,2 \right)\).

\(M\) é o ponto médio das diagonais \(\left[ AC \right]\) e \(\left[ BD \right]\). De \(M\) ponto médio de \(\left[ BD \right]\): \(D=2M-B=\left( -4+1,0,4 \right)=\left( -3,0,4 \right)\).

Seja \(A=\left( 0,0,a \right)\), com \(a>0\) (semieixo positivo \(Oz\)); \(C=2M-A=\left( -4,0,4-a \right)\).

As diagonais de um quadrado são perpendiculares: \(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\), com \(\overrightarrow{MA}=\left( 2,0,a-2 \right)\) e \(\overrightarrow{MB}=\left( 1,0,-2 \right)\): \(2-2\left( a-2 \right)=0\Leftrightarrow 2-2a+4=0\Leftrightarrow a=3\).

Logo \(A=\left( 0,0,3 \right)\) e \(B=\left( -1,0,0 \right)\), pelo que \(\overrightarrow{AB}=B-A=\left( -1,0,-3 \right)\).

a) ★★★

\(\overrightarrow{AG}=G-A=\left( 5-7,3-1,6-4 \right)=\left( -2,2,2 \right)\), pelo que \(\left| \overrightarrow{AG} \right|=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}\).

Como \(A\) e \(G\) são vértices opostos do cubo (diagonal espacial), \(\left| \overrightarrow{AG} \right|=a\sqrt{3}\), sendo \(a\) a aresta do cubo: \(a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\Leftrightarrow a=2\).

As arestas \(AE\), \(BF\), \(CG\) e \(DH\) são paralelas entre si e perpendiculares às faces \(ABCD\) e \(EFGH\); logo, o vetor diretor de \(AE\), \(\left( 3,-6,2 \right)\), é um vetor normal ao plano \(EFG\) (que contém a face \(EFGH\)).

O plano \(EFG\) passa em \(G=\left( 5,3,6 \right)\): \(3\left( x-5 \right)-6\left( y-3 \right)+2\left( z-6 \right)=0\).

\(\Leftrightarrow 3x-15-6y+18+2z-12=0\Leftrightarrow 3x-6y+2z-9=0\).

b) ★★★

A superfície esférica circunscrita ao cubo tem centro no ponto médio da diagonal espacial \(\left[ AG \right]\) e raio igual a metade do comprimento dessa diagonal.

Centro: \(M=\left( \frac{7+5}{2},\frac{1+3}{2},\frac{4+6}{2} \right)=\left( 6,2,5 \right)\).

Raio: \(r=\frac{\left| \overrightarrow{AG} \right|}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\).

Equação: \({\left( x-6 \right)}^{2}+{\left( y-2 \right)}^{2}+{\left( z-5 \right)}^{2}=3\).

a) ★★

\(E=B+\overrightarrow{BE}=\left( 0,2,4 \right)+\left( 2,2,-2 \right)=\left( 2,4,2 \right)\).

\(\overrightarrow{BO}=O-B=\left( 0,-2,-4 \right)\) e \(\overrightarrow{BE}=\left( 2,2,-2 \right)\).

\(\overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BE}=0\times 2+\left( -2 \right)\times 2+\left( -4 \right)\times \left( -2 \right)=-4+8=4\).

\(\left| \overrightarrow{BO} \right|=\sqrt{0+4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) e \(\left| \overrightarrow{BE} \right|=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).

\(\cos \left( \hat{OBE} \right)=\frac{4}{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{3}}=\frac{4}{4\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{15}}\).

\(\hat{OBE}=\arccos \left( \frac{1}{\sqrt{15}} \right)\approx {75}^{\circ }\).

b) ★★★

Como \(\left[ BG \right]\) é uma aresta do cubo, paralela a \(Oz\), e \(E=\left( 2,4,2 \right)\) é o vértice do cubo diagonalmente oposto a \(B\) (pois \(\left| \overrightarrow{BE} \right|=2\sqrt{3}\) é a diagonal espacial de um cubo de aresta \(2\)), tem-se \(G=B+\left( 0,0,-2 \right)=\left( 0,2,2 \right)\).

\(\overrightarrow{OE}=\left( 2,4,2 \right)\), com direção \(\left( 1,2,1 \right)\); este é um vetor normal ao plano \(\alpha \).

\(\alpha \) passa em \(G=\left( 0,2,2 \right)\): \(1\left( x-0 \right)+2\left( y-2 \right)+1\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+z-6=0\Leftrightarrow x+2y+z=6\).

Interseções com os eixos: \(P=\left( 6,0,0 \right)\) (eixo \(Ox\)), \(Q=\left( 0,3,0 \right)\) (eixo \(Oy\)), \(R=\left( 0,0,6 \right)\) (eixo \(Oz\)).

\({V}_{\left[ OPQR \right]}=\frac{1}{6}\times \left| OP \right|\times \left| OQ \right|\times \left| OR \right|=\frac{1}{6}\times 6\times 3\times 6=18\).

Resposta: (C)

Como \(C\) pertence ao eixo \(Oy\), \(C=\left( 0,c,0 \right)\) para algum \(c\); substituindo no plano \(\alpha \): \(4c-3\times 0=8\Leftrightarrow c=2\), pelo que \(C=\left( 0,2,0 \right)\).

Como \(V\) pertence ao eixo \(Oz\), \(V=\left( 0,0,v \right)\) para algum \(v\). Sendo o cone reto, a reta \(CV\) (o eixo do cone) é perpendicular ao plano da base, pelo que é paralela ao vetor normal do plano \(\alpha \), \(\overrightarrow{n}=\left( 0,4,-3 \right)\).

\(\overrightarrow{CV}=\left( 0,-2,v \right)\) deve ser paralelo a \(\left( 0,4,-3 \right)\): \(\frac{-2}{4}=\frac{v}{-3}\Leftrightarrow v=\frac{3}{2}\). Logo, \(V=\left( 0,0,\frac{3}{2} \right)\) e \(\overrightarrow{CV}=\left( 0,-2,\frac{3}{2} \right)\), paralelo a \(\left( 0,-4,3 \right)\).

Qualquer reta paralela a \(CV\) tem, assim, vetor diretor paralelo a \(\left( 0,-4,3 \right)\) (ou, equivalentemente, a \(\left( 0,4,-3 \right)\)); de entre as opções, apenas (A) e (C) têm esta direção.

Testando se a reta da opção (C), \(\left( 0,4,-2 \right)+k\left( 0,4,-3 \right)\), contém o ponto \(\left( 0,0,1 \right)\): de \(4+4k=0\) vem \(k=-1\); substituindo na terceira coordenada, \(-2-3\times \left( -1 \right)=-2+3=1\), que coincide com a terceira coordenada do ponto \(\left( 0,0,1 \right)\). A reta (C) contém, de facto, o ponto \(\left( 0,0,1 \right)\).

Verificando que a reta da opção (A) não contém esse ponto: de \(-4k=0\) vem \(k=0\), mas então \(z=2+3\times 0=2\ne 1\); a opção (A) é, assim, rejeitada.

A opção correta é a (C).

Como \(C\) é o ponto médio de \(\left[ PQ \right]\), tem-se \(P+Q=2C\), pelo que o baricentro de \(\left[ PQV \right]\) é \(B=\frac{P+Q+V}{3}=\frac{2C+V}{3}\).

Com \(C=\left( 0,2,0 \right)\) e \(V=\left( 0,0,\frac{3}{2} \right)\) (determinados na alínea anterior): \(2C=\left( 0,4,0 \right)\), pelo que \(B=\frac{\left( 0,4,0 \right)+\left( 0,0,\frac{3}{2} \right)}{3}=\frac{1}{3}\left( 0,4,\frac{3}{2} \right)=\left( 0,\frac{4}{3},\frac{1}{2} \right)\).

O cone pedido tem como base o círculo centrado em \(C\), de diâmetro \(\left∥ \overrightarrow{PQ} \right∥=4\), logo raio \(r=2\); a sua área é \(\pi {r}^{2}=4\pi \).

A altura do cone é a distância do vértice \(B\) ao plano da base, \(\alpha :4y-3z-8=0\) (vetor normal \(\left( 0,4,-3 \right)\), de norma \(\sqrt{16+9}=5\)):

\[d\left( B,\alpha \right)=\frac{\left| 4\times \frac{4}{3}-3\times \frac{1}{2}-8 \right|}{5}=\frac{\left| \frac{16}{3}-\frac{3}{2}-8 \right|}{5}=\frac{\left| -\frac{25}{6} \right|}{5}=\frac{25/6}{5}=\frac{5}{6}\]

O volume do cone é \(V=\frac{1}{3}\times \text{Área da base}\times \text{altura}=\frac{1}{3}\times 4\pi \times \frac{5}{6}=\frac{20\pi }{18}=\frac{10\pi }{9}\).