Modelos matemáticos para a cidadania

Eleições: abstenção e maiorias

Na eleição da direção de uma associação de estudantes, estavam inscritos \(1250\) alunos e votaram \(900\).

Qual foi a taxa de abstenção nesta eleição?

(A) \(14\%\)

(B) \(28\%\)

(C) \(35\%\)

(D) \(72\%\)

Eleições: abstenção e maiorias

Numa eleição autárquica, votaram \(2400\) eleitores de uma freguesia. Registaram-se \(96\) votos em branco e \(24\) votos nulos.

Determine o número de votos validamente expressos e a percentagem que estes representam em relação ao número de votantes.

Eleições: abstenção e maiorias

Na eleição do presidente de um clube, houve \(1000\) votos validamente expressos, assim distribuídos: Ana, \(412\) votos; Bruno, \(365\) votos; Carla, \(223\) votos.

Indique quem venceria a eleição pelo sistema de maioria simples e justifique que, pelo sistema de maioria absoluta, seria necessária uma segunda volta, identificando os candidatos que nela participariam.

Método de Borda

Os \(50\) alunos de um clube ordenaram três destinos para uma visita de estudo, Aveiro (A), Braga (B) e Coimbra (C), de acordo com a tabela seguinte.

Aplica-se o método de Borda: cada destino recebe \(3\) pontos por cada 1.ª preferência, \(2\) pontos por cada 2.ª preferência e \(1\) ponto por cada 3.ª preferência.

Determine a pontuação de cada destino e indique o destino escolhido.

Método de Hondt

Numa eleição com \(5\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt, as listas A, B e C obtiveram, respetivamente, \(4200\), \(2600\) e \(1500\) votos.

Quantos mandatos obteve cada lista, A, B e C, respetivamente?

(A) \(3, 1, 1\)

(B) \(2, 2, 1\)

(C) \(3, 2, 0\)

(D) \(4, 1, 0\)

Método de Hondt

A tabela seguinte apresenta os quocientes obtidos por três listas numa eleição com \(6\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt.

Determine o número de mandatos atribuídos a cada lista.

Método de Sainte-Laguë

Numa eleição com \(5\) mandatos a atribuir pelo método de Sainte-Laguë, as listas X, Y e Z obtiveram, respetivamente, \(3300\), \(1800\) e \(900\) votos.

Determine o número de mandatos atribuídos a cada lista, apresentando os quocientes utilizados.

Salários

O salário bruto mensal do Rui é \(1200\) euros. Por mês, desconta \(11\%\) para a Segurança Social e tem uma retenção na fonte de IRS de \(8\%\) do salário bruto. Não recebe qualquer outro abono.

Qual é o salário líquido mensal do Rui?

(A) \(972\) €

(B) \(1068\) €

(C) \(1104\) €

(D) \(1008\) €

Juros

A Beatriz aplicou \(2000\) euros num depósito a prazo, na modalidade de juro simples, à taxa de juro anual de \(3\%\). Não fez levantamentos nem reforços.

Determine o capital acumulado ao fim de \(4\) anos.

Juros

O Tiago depositou \(3000\) euros num banco, na modalidade de juro composto, com capitalização anual, à taxa de juro anual de \(2\%\). Não fez levantamentos nem reforços.

Qual é o capital acumulado ao fim de \(3\) anos, arredondado às centésimas?

(A) \(3120,00\) €

(B) \(3180,00\) €

(C) \(3183,62\) €

(D) \(3247,30\) €

Eleições: abstenção e maiorias

Num município com \(20\,000\) eleitores inscritos, a taxa de abstenção numa eleição foi \(36\%\). Dos votantes, \(3\%\) votaram em branco ou nulo. O candidato A obteve \(6230\) votos.

Mostre que o candidato A foi eleito por maioria absoluta e indique a percentagem de votos validamente expressos que obteve, arredondada às centésimas.

Eleições: abstenção e maiorias

Na primeira volta da eleição do presidente de uma ordem profissional, houve \(7500\) votos validamente expressos, assim distribuídos pelos quatro candidatos: A, \(38\%\); B, \(27\%\); C, \(21\%\); D, \(14\%\).

Na segunda volta, admita que:

• todos os eleitores de A e de B repetem o voto;

• dos eleitores de C, \(60\%\) votam em B, \(20\%\) votam em A e os restantes não votam;

• dos eleitores de D, \(40\%\) votam em B, \(30\%\) votam em A e os restantes não votam;

• não há votos em branco nem nulos.

a) Justifique que foi necessária uma segunda volta.

b) Determine o candidato vencedor e a respetiva percentagem de votos na segunda volta, arredondada às centésimas.

Eleições: abstenção e maiorias

Num sindicato com \(5000\) associados inscritos, votaram \(3200\) na eleição da direção. Registaram-se \(70\) votos em branco e \(50\) votos nulos. Os restantes votos distribuíram-se assim: lista A, \(1530\) votos; lista B, \(1120\) votos; lista C, \(430\) votos.

Considere as afirmações seguintes.

I. A taxa de abstenção foi \(36\%\).

II. Os votos em branco e nulos representam \(3,75\%\) dos votantes.

III. A lista A obteve maioria absoluta dos votos validamente expressos.

Qual é a opção correta?

(A) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

(B) Apenas a afirmação I é verdadeira.

(C) As três afirmações são verdadeiras.

(D) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.

Método de Borda

Para eleger o representante dos alunos, \(110\) estudantes ordenaram quatro candidatos, A, B, C e D.

a) Considerando apenas as primeiras preferências, indique quem venceria por maioria simples e com que percentagem, arredondada às centésimas.

b) Aplicando o método de Borda, com \(4\), \(3\), \(2\) e \(1\) pontos por cada 1.ª, 2.ª, 3.ª e 4.ª preferências, determine o vencedor e comente o resultado, por comparação com o da alínea anterior.

Método de Borda

Um júri popular de \(170\) pessoas ordenou quatro projetos, P, Q, R e S, de acordo com a tabela seguinte.

Cada projeto recebe \(3\) pontos por cada 1.ª preferência, \(2\) pontos por cada 2.ª preferência, \(1\) ponto por cada 3.ª preferência e \(0\) pontos por cada 4.ª preferência.

Determine o projeto vencedor e mostre que este não é o mais votado em 1.ª preferência.

Método de Borda

Na eleição do presidente de um clube, todos os sócios podiam votar e a taxa de abstenção foi \(30\%\). Os votantes ordenaram quatro candidatos e aplicou-se o método de Borda, com \(4\), \(3\), \(2\) e \(1\) pontos por cada 1.ª, 2.ª, 3.ª e 4.ª preferências. Não houve votos em branco nem nulos.

As pontuações finais foram: A, \(720\) pontos; B, \(805\) pontos; C, \(950\) pontos; D, \(675\) pontos.

Quantos sócios tem o clube?

(A) \(315\)

(B) \(420\)

(C) \(450\)

(D) \(525\)

Método de Borda

Numa eleição com quatro candidatos, A, B, C e D, os \(120\) eleitores votaram do seguinte modo.

a) Determine o vencedor por aplicação do método de Borda, com \(4\), \(3\), \(2\) e \(1\) pontos por cada 1.ª, 2.ª, 3.ª e 4.ª preferências.

b) Admita que o vencedor desiste. Elimina-se esse candidato dos boletins e atribuem-se \(3\), \(2\) e \(1\) pontos às novas 1.ª, 2.ª e 3.ª preferências. Determine quem seria o novo vencedor.

Método de Borda

Num concurso de canções, cinco júris ordenaram as quatro canções finalistas, A, B, C e D. Cada júri atribui \(5\) pontos à sua canção preferida, \(3\) pontos à segunda, \(1\) ponto à terceira e \(0\) pontos à quarta.

a) Determine a canção vencedora.

b) Mostre que, se o Júri 3 tivesse trocado a ordem das canções B e C, a canção vencedora teria sido outra.

Método de Hondt

Numa eleição, com \(7\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt, os partidos A, B, C e D obtiveram, respetivamente, \(5120\), \(3980\), \(1760\) e \(940\) votos.

Determine a distribuição dos mandatos.

Sempre que necessário, apresente os quocientes arredondados às centésimas.

Método de Hondt

Uma autarquia vai distribuir \(9\) quadros interativos por quatro escolas, N, S, M e F, de acordo com o número de alunos de cada uma, por aplicação do método de Hondt.

a) Determine o número de quadros atribuídos a cada escola.

b) A direção da escola F propôs que se aplicasse o método de Sainte-Laguë. Verifique se a escola F ficaria com algum quadro e indique qual seria a escola prejudicada por esta alteração.

Método de Hondt

Numa eleição, com \(7\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt, as listas A, B e C obtiveram, respetivamente, \(1200\), \(900\) e \(600\) votos.

Em caso de empate na atribuição do último mandato, este é atribuído à lista com menor número de votos.

Determine a distribuição dos mandatos.

Método de Hondt

Numa eleição, com \(8\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt, os partidos A, B, C e D obtiveram, respetivamente, \(7350\), \(5280\), \(3190\) e \(1420\) votos. Com estes resultados, os mandatos ficaram assim distribuídos: A, \(4\); B, \(3\); C, \(1\); D, \(0\).

Em caso de empate na atribuição do último mandato, este é atribuído ao partido com menor número de votos.

Quantos abstencionistas teriam de votar, no mínimo, no partido D, sem outras alterações, para que este elegesse um mandato? Indique o partido que perderia um mandato.

Método de Hondt

Numa eleição com \(6\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt, foram apurados \(12\,000\) votos validamente expressos, repartidos pelas listas A, B e C. A lista A obteve \(5600\) votos. O último mandato coube à lista B, com o quociente \(1860\), que foi o segundo mandato desta lista.

Quantos mandatos obteve a lista C?

(A) \(0\)

(B) \(1\)

(C) \(2\)

(D) \(3\)

Método de Hondt

Numa eleição autárquica, num concelho com \(9800\) eleitores inscritos, votaram \(6700\) eleitores. Os votos nas listas foram: P, \(2840\); Q, \(2315\); R, \(962\); S, \(383\). Os restantes votos foram em branco ou nulos. O presidente é o primeiro candidato da lista mais votada e são atribuídos \(5\) mandatos pelo método de Hondt.

a) Determine a taxa de abstenção, arredondada às centésimas, e o número de votos em branco ou nulos.

b) Determine a distribuição dos \(5\) mandatos.

c) Determine o número mínimo de votos que a lista R teria de perder para a lista P, sem outras alterações, para que P obtivesse \(3\) mandatos.

Método de Sainte-Laguë

Numa eleição, com \(8\) mandatos a atribuir pelo método de Sainte-Laguë, as listas A, B, C e D obtiveram, respetivamente, \(3510\), \(2640\), \(1475\) e \(875\) votos.

Determine a distribuição dos mandatos, apresentando os quocientes arredondados às centésimas.

Método de Sainte-Laguë

Para uma comissão de \(8\) elementos, as listas A, B, C e D obtiveram, respetivamente, \(6100\), \(2300\), \(1300\) e \(800\) votos.

a) Determine a distribuição dos lugares pelo método de Hondt.

b) Determine a distribuição dos lugares pelo método de Sainte-Laguë e compare o resultado com o da alínea anterior.

Método de Sainte-Laguë

Numa eleição, com \(7\) mandatos a atribuir pelo método de Sainte-Laguë, as listas L, M e N obtiveram, respetivamente, \(2450\), \(1890\) e \(980\) votos.

Qual foi o quociente que deu origem ao último mandato atribuído?

(A) \(350\)

(B) \(378\)

(C) \(490\)

(D) \(630\)

Salários

O valor-hora de um trabalhador é dado por \(\frac{{R}_{m}\times 12}{52\times n}\), em que \({R}_{m}\) é a remuneração mensal e \(n\) é o número de horas de trabalho semanal.

A Sara recebe \(1365\) euros de remuneração mensal e trabalha \(40\) horas por semana.

a) Determine o valor-hora da Sara, arredondado às centésimas.

b) A empresa reduziu o horário para \(35\) horas semanais, sem alterar a remuneração mensal. Qual foi o aumento percentual do valor-hora, arredondado às centésimas?

(A) \(12,50\%\)

(B) \(14,29\%\)

(C) \(16,67\%\)

(D) \(5,00\%\)

Salários

A Clara é trabalhadora por conta de outrem, tem \(2\) dependentes e uma remuneração mensal de \(1640\) euros. Num certo mês, trabalhou \(21\) dias e recebeu \(7,50\) euros de subsídio de refeição por dia de trabalho. Desconta \(11\%\) da remuneração mensal para a Segurança Social.

A retenção na fonte de IRS segue a tabela seguinte.

Retenção na fonte \(=\) (remuneração mensal \(\times \) taxa) \(-\) parcela a abater \(-\) (parcela adicional \(\times \) n.º de dependentes). Considera-se apenas a parte inteira do valor obtido; se este for negativo, a retenção é \(0\) €.

Determine o salário líquido da Clara nesse mês.

Salários

O Vasco recebeu, num certo mês, \(1242\) euros. Esse valor já inclui o subsídio de refeição, de \(6\) euros por dia, referente a \(22\) dias de trabalho. Sobre o salário bruto, desconta \(11\%\) para a Segurança Social e tem uma retenção na fonte de IRS de \(14\%\).

Qual é o salário bruto do Vasco?

(A) \(1350\) €

(B) \(1480\) €

(C) \(1560\) €

(D) \(1656\) €

IRS

Num certo ano, o Hugo, solteiro e sem dependentes, teve um rendimento bruto de \(24\,600\) euros e deduções específicas de \(4100\) euros. Ao longo do ano, a retenção na fonte de IRS foi \(3912\) euros.

Considere a tabela de IRS seguinte.

Coleta \(=\) (rendimento coletável \(\times \) taxa) \(-\) parcela a abater.

Averigue se o Hugo teve de pagar IRS ou se foi reembolsado, indicando o respetivo valor.

IRS

Um casal, com tributação conjunta, teve rendimentos brutos anuais de \(31\,000\) euros e de \(17\,000\) euros, com deduções específicas de \(4200\) euros para cada elemento. As retenções na fonte somaram \(7130\) euros.

Na tributação conjunta, divide-se por \(2\) o rendimento coletável do casal, aplica-se a tabela seguinte a esse valor e multiplica-se o resultado por \(2\).

Coleta \(=\) (rendimento coletável \(\times \) taxa) \(-\) parcela a abater.

a) Determine a coleta do casal e indique se este tem IRS a pagar ou a receber.

b) Mostre que, com tributação separada, a soma das coletas seria \(462\) euros superior.

Juros

A Rita aplicou \(8000\) euros num depósito a prazo, na modalidade de juro simples, com uma TANB (taxa anual nominal bruta) de \(2,5\%\). Sobre os juros incide uma taxa de imposto de \(28\%\).

Mostre que a TANL (taxa anual nominal líquida) é \(1,8\%\) e determine o capital líquido acumulado ao fim de \(3\) anos.

Juros

O Duarte vai aplicar \(6000\) euros durante \(2\) anos, na modalidade de juro composto, à taxa de juro anual líquida de \(2,4\%\). Pode escolher entre capitalização anual, semestral ou mensal.

a) Determine o capital acumulado em cada caso, arredondado às centésimas.

b) Determine a diferença entre os juros obtidos com capitalização mensal e com capitalização anual.

Crédito

A Elisa contraiu um crédito de \(24\,000\) euros, a pagar em \(4\) anos, em prestações mensais iguais. A taxa de juro é fixa, de \(5\%\) ao ano, e é sempre calculada sobre o valor inicial do crédito.

a) Determine o valor total de juros e o valor da prestação mensal.

b) A Elisa tem um rendimento líquido mensal de \(1600\) euros e outros encargos mensais com crédito de \(120\) euros. Determine a sua taxa de esforço, isto é, a percentagem do rendimento líquido destinada a encargos com crédito.

Eleições: abstenção e maiorias

Num círculo com \(16\,000\) eleitores inscritos, realizou-se a primeira volta de uma eleição, por maioria absoluta. Os candidatos A, B e C obtiveram, respetivamente, \(4120\), \(3870\) e \(1510\) votos. Houve ainda \(340\) votos em branco ou nulos.

a) [★★] Determine a taxa de abstenção.

b) [★★★] Determine o número mínimo de abstencionistas que teriam de votar validamente em A, sem outras alterações, para que este vencesse à primeira volta.

c) [★★★] Admita que, na segunda volta, entre A e B, todos os eleitores de A e de B repetem o voto e que todos os eleitores de C votam em A ou em B, não havendo mais votantes. Mostre que B só vence se obtiver mais de \(58\%\) dos votos dos eleitores de C.

Método de Borda

Uma escola pretende escolher uma de quatro propostas, P, Q, R e S, por votação de \(240\) alunos, que ordenaram as propostas. A tabela apresenta as preferências de \(200\) desses alunos.

Os restantes \(40\) alunos votaram todos numa mesma ordenação das quatro propostas.

Cada proposta recebe \(4\), \(3\), \(2\) e \(1\) pontos por cada 1.ª, 2.ª, 3.ª e 4.ª preferências. É escolhida a proposta com maior pontuação.

a) [★★] Determine a pontuação de cada proposta nos \(200\) votos da tabela.

b) [★★★] Mostre que a proposta R nunca poderá ter, sozinha, a maior pontuação, quaisquer que sejam os \(40\) votos restantes.

c) [★★★] Apresente uma ordenação dos \(40\) votos restantes com a qual seja escolhida a proposta P, indicando as pontuações finais.

Método de Borda

Numa turma, os alunos elegeram o delegado de entre quatro candidatos, A, B, C e D, ordenando-os por preferência. Sabe-se que \(x\) é um número natural e que:

Aplica-se o método de Borda, com \(4\), \(3\), \(2\) e \(1\) pontos por cada 1.ª, 2.ª, 3.ª e 4.ª preferências.

a) Sabendo que o candidato C venceu, com mais \(7\) pontos do que o candidato D, determine o número de alunos da turma.

b) Admita, nesta alínea, que \(x\) não é conhecido. Determine o maior valor de \(x\) para o qual C tem mais pontos do que D e mostre que, para esse valor, C é o vencedor.

Método de Hondt

Numa eleição, com \(9\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt, os partidos A, B, C e D obtiveram, respetivamente, \(12\,400\), \(8150\), \(4300\) e \(1950\) votos.

Em caso de empate na atribuição do último mandato, este é atribuído ao partido com menor número de votos.

a) [★★] Determine a distribuição dos mandatos.

b) [★★★] Determine o número mínimo de abstencionistas que teriam de votar em D, sem outras alterações, para que este elegesse um mandato.

c) [★★★] Se, em vez disso, \(x\) eleitores de A passassem a votar em D, sem outras alterações, qual seria o menor valor de \(x\) para que D elegesse um mandato? Comente a diferença em relação à alínea anterior.

Método de Hondt

Numa eleição, com \(6\) mandatos a atribuir pelo método de Hondt, a lista A obteve \(6000\) votos, a lista B obteve \(x\) votos, com \(x<6000\), e a lista C obteve \(2400\) votos.

Em caso de empate na atribuição de um mandato, este é atribuído à lista com menor número de votos.

a) [★★] Determine a distribuição dos mandatos para \(x=4500\).

b) [★★★] Determine todos os valores de \(x\) para os quais a lista B obtém exatamente \(2\) mandatos.

Método de Sainte-Laguë

Numa eleição, com \(8\) mandatos a atribuir, as listas A, B, C e D obtiveram, respetivamente, \(4800\), \(3100\), \(1400\) e \(700\) votos.

Em caso de empate na atribuição de um mandato, este é atribuído à lista com menor número de votos.

a) [★★] Mostre que a lista D elege um mandato pelo método de Sainte-Laguë, mas não pelo método de Hondt.

b) [★★★] Pelo método de Hondt, quantos votos a mais, no mínimo, teria de obter a lista D, sem outras alterações, para eleger um mandato?

c) [★★★] Pelo método de Sainte-Laguë, qual é o menor número de votos com que a lista D mantém o seu mandato, sem outras alterações?

Método de Sainte-Laguë

Nas eleições para uma assembleia de \(10\) lugares, houve \(10\,000\) votos validamente expressos, assim distribuídos: A, \(4600\); B, \(2900\); C, \(1500\); D, \(700\); E, \(300\).

Para comparar um método com a proporcionalidade, calcula-se, para cada lista, a diferença, em valor absoluto, entre a percentagem de lugares e a percentagem de votos, e somam-se estes valores. Quanto menor for essa soma, mais proporcional é o resultado.

a) [★★] Determine a distribuição dos lugares pelos métodos de Hondt e de Sainte-Laguë.

b) [★★★] Mostre que, nesta eleição, o método de Sainte-Laguë conduziu a um resultado mais proporcional.

Salários

O recibo de vencimento do Paulo, com \(1\) dependente, tem os seguintes elementos.

Para remunerações mensais, \(R\), até \(1100\) euros, a retenção na fonte é obtida a partir da expressão

\[0,14R-0,14\times 1,3\times (1500-R)-30\times k,\]

em que \(k\) é o número de dependentes. Considera-se apenas a parte inteira do valor obtido; se este for negativo, a retenção é \(0\) €.

a) [★★] Determine os valores de \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) e \(e\), bem como o salário líquido do Paulo.

b) [★★★] Determine a maior remuneração mensal, em euros inteiros, para a qual um trabalhador com \(1\) dependente obtém, nesta expressão, um valor negativo.

Salários

A Mariana, sem dependentes, tem uma remuneração mensal de \(1480\) euros e vai ter um aumento para \(1560\) euros. Desconta \(11\%\) para a Segurança Social e não recebe outros abonos.

A retenção na fonte de IRS segue a tabela seguinte.

Retenção na fonte \(=\) (remuneração mensal \(\times \) taxa) \(-\) parcela a abater \(-\) (parcela adicional \(\times \) n.º de dependentes). Considera-se apenas a parte inteira do valor obtido; se este for negativo, a retenção é \(0\) €.

a) Um colega afirmou: «Com este aumento, a Mariana muda de escalão, pelo que passa a ganhar menos.» Mostre que a afirmação é falsa, apresentando os dois salários líquidos.

b) Desprezando a passagem à parte inteira, determine a remuneração mensal, entre \(1500\) e \(2200\) euros, a que corresponde um salário líquido \(100\) euros superior ao de \(1161,20\) euros. Apresente o resultado arredondado às centésimas.

IRS

Considere a tabela de IRS seguinte.

Coleta \(=\) (rendimento coletável \(\times \) taxa) \(-\) parcela a abater.

a) O rendimento coletável da Marta era \(21\,800\) euros e, com um trabalho extra, passou a \(22\,400\) euros. Determine o aumento da coleta e mostre que a Marta fica com mais \(422\) euros disponíveis, apesar de mudar de escalão.

b) A coleta de um contribuinte foi \(4950\) euros. Determine o seu rendimento coletável e a taxa efetiva de imposto, isto é, a percentagem da coleta em relação ao rendimento coletável, arredondada às centésimas.

Juros

O Augusto aplicou \(7500\) euros durante \(5\) anos, num produto financeiro com duas fases:

• nos primeiros \(3\) anos, juro composto, com capitalizações mensais, à taxa de juro anual líquida de \(6\%\);

• nos \(2\) anos seguintes, juro simples, à taxa de juro anual líquida de \(3\%\), sobre o capital acumulado no final da primeira fase.

a) [★★] Determine o capital ao fim de \(5\) anos, arredondado às centésimas.

b) [★★★] Determine a taxa de juro anual que, na modalidade de juro simples, durante os mesmos \(5\) anos, conduziria ao mesmo capital final. Apresente o resultado em percentagem, arredondado às centésimas.

Juros

A Leonor pretende subscrever uma conta-poupança, com a duração de \(15\) anos, nas condições seguintes:

• no início de cada ano, deposita a quantia fixa de \(800\) euros;

• não pode fazer levantamentos nem depósitos adicionais;

• no fim de cada ano, é adicionado à conta o juro, à taxa de juro anual de \(j\%\).

O capital, \(C\), em euros, no final dos \(15\) anos, é dado por

\[C(j)=800\left( 1+\frac{100}{j} \right)\left( {\left( 1+\frac{j}{100} \right)}^{15}-1 \right), com j>0\]

A Leonor pretende obter, no final, um acréscimo de \(15\%\) em relação ao total depositado.

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a taxa de juro anual que a Leonor deverá negociar.

Apresente o resultado arredondado às milésimas.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

• represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s).

Juros

A Joana depositou \(12\,000\) euros, na modalidade de juro composto, com capitalizações mensais, com uma TANB de \(3,5\%\). Sobre os juros incide uma taxa de imposto de \(28\%\). Não fez levantamentos nem reforços.

a) [★★] Mostre que a taxa de juro mensal líquida é \(0,21\%\).

b) [★★★] Determine o número mínimo de meses ao fim dos quais o capital acumulado ultrapassa \(13\,000\) euros, recorrendo à calculadora.

Apresente, na sua resposta, a inequação a resolver e os valores que justificam a conclusão, arredondados às centésimas.

Crédito

O valor da prestação mensal, \(p\), em euros, de um crédito de \(15\,000\) euros, a pagar em \(72\) prestações mensais iguais, é dado, em função da taxa de juro anual, \(j\), em percentagem, por

\[p(j)=\frac{12,5\,j}{1-{\left( 1+\frac{j}{1200} \right)}^{-72}}, com j>0.\]

a) [★★] Para \(j=6\), determine o valor da prestação, arredondado às centésimas, e o total de juros pagos, usando o valor arredondado.

b) [★★★] Outra instituição financeira propõe uma prestação mensal de \(265\) euros, nas mesmas condições. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a taxa de juro anual correspondente, arredondada às milésimas.

Na sua resposta:

• apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;

• represente, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora e assinale o(s) ponto(s) relevante(s).

Crédito

A Sofia pediu um empréstimo de \(18\,000\) euros, à taxa de juro anual de \(6\%\). A prestação mensal, \(p\), de uma dívida \(D\), a pagar em \(60\) prestações mensais iguais, à taxa mensal \(i=0,005\), é dada por

\[p=\frac{D\times i}{1-(1+i{)}^{-60}}.\]

A Sofia tem duas hipóteses:

• Hipótese 1: começar a pagar de imediato, em \(60\) prestações;

• Hipótese 2: não pagar nada durante \(24\) meses, com a dívida a crescer a juro composto, com capitalizações mensais, à taxa mensal de \(0,5\%\), e pagar depois a dívida acumulada em \(60\) prestações.

a) [★★] Determine a dívida acumulada ao fim dos \(24\) meses, na Hipótese 2, arredondada às centésimas.

b) [★★] Determine a prestação mensal em cada hipótese, arredondada às centésimas.

c) [★★★] Usando os valores arredondados das prestações, determine o total de juros pagos em cada hipótese e quanto custa a mais, no total, a Hipótese 2.