Formulário e notas deste tema
Exercício 1
★Exercício originalPontos, distâncias e ponto médio
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o ponto \(P(-4,7)\).
Quais são as coordenadas do transformado do ponto \(P\) pela reflexão de eixo \(Ox\)?
(A) \((4,7)\)
(B) \((-4,-7)\)
(C) \((4,-7)\)
(D) \((7,-4)\)
Ver resolução
Resposta: (B)
Na reflexão de eixo \(Ox\), mantém-se a abcissa e troca-se o sinal da ordenada: \({P}^{'}=(-4,-7)\).
Exercício 2
★Exercício originalPontos, distâncias e ponto médio
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(-2,5)\) e \(B(6,-1)\).
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta \([AB]\) e a distância entre os pontos \(A\) e \(B\).
Ver resolução
1. Ponto médio: \(M=\left( \frac{-2+6}{2},\frac{5-1}{2} \right)=(2,2)\).
2. Distância: \(\overline{AB}=\sqrt{(6+2{)}^{2}+(-1-5{)}^{2}}=\sqrt{64+36}=10\).
Exercício 3
★Exercício originalMediatriz e lugares geométricos
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(-1,3)\) e \(B(3,-1)\).
Qual é a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta \([AB]\)?
(A) \(y=x\)
(B) \(y=-x+2\)
(C) \(y=x+1\)
(D) \(y=-x\)
Ver resolução
Resposta: (A)
1. Um ponto \((x,y)\) da mediatriz é equidistante de \(A\) e de \(B\): \((x+1{)}^{2}+(y-3{)}^{2}=(x-3{)}^{2}+(y+1{)}^{2}\).
2. Simplificando: \(2x+1-6y+9=-6x+9+2y+1\Leftrightarrow 8x=8y\Leftrightarrow y=x\).
Exercício 4
★Exercício originalCircunferência
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência definida por \((x-3{)}^{2}+(y+2{)}^{2}=25\).
Indique as coordenadas do centro e o raio da circunferência e verifique que o ponto de coordenadas \((0,2)\) lhe pertence.
Ver resolução
1. O centro é o ponto de coordenadas \((3,-2)\) e o raio é \(5\).
2. \((0-3{)}^{2}+(2+2{)}^{2}=9+16=25\), pelo que o ponto pertence à circunferência.
Exercício 5
★Exercício originalCircunferência
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(C(-1,4)\) e \(P(2,0)\).
Escreva a equação reduzida da circunferência de centro \(C\) que passa no ponto \(P\).
Ver resolução
1. Quadrado do raio: \({\overline{CP}}^{2}=(2+1{)}^{2}+(0-4{)}^{2}=9+16=25\).
2. Equação reduzida: \((x+1{)}^{2}+(y-4{)}^{2}=25\).
Exercício 6
★Exercício originalRetas no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(1,-2)\) e \(B(3,4)\).
Determine o declive e a equação reduzida da reta \(AB\).
Ver resolução
1. Declive: \(m=\frac{4+2}{3-1}=3\).
2. Com \(y=3x+b\) e o ponto \(A\): \(-2=3+b\Leftrightarrow b=-5\).
3. Equação reduzida: \(y=3x-5\).
Exercício 7
★Exercício originalRetas no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a reta \(r\) de equação \(y=-2x+1\).
Qual é a equação reduzida da reta paralela a \(r\) que passa no ponto de coordenadas \((3,1)\)?
(A) \(y=-2x+1\)
(B) \(y=2x-5\)
(C) \(y=-2x+7\)
(D) \(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)
Ver resolução
Resposta: (C)
Retas paralelas têm o mesmo declive: \(y=-2x+b\). Como \(1=-6+b\), tem-se \(b=7\), ou seja, \(y=-2x+7\).
Exercício 8
★Exercício originalVetores no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os vetores \(\overrightarrow{u}(2,-3)\) e \(\overrightarrow{v}(-1,4)\).
Quais são as coordenadas do vetor \(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}\)?
(A) \((1,6)\)
(B) \((7,-18)\)
(C) \((7,6)\)
(D) \((1,-18)\)
Ver resolução
Resposta: (B)
\(2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}=(4,-6)-(-3,12)=(7,-18)\).
Exercício 9
★Exercício originalVetores no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o vetor \(\overrightarrow{u}(-6,8)\).
Determine a norma de \(\overrightarrow{u}\) e as coordenadas do vetor colinear com \(\overrightarrow{u}\), com o mesmo sentido, de norma \(5\).
Ver resolução
1. \(\parallel \overrightarrow{u}\parallel =\sqrt{36+64}=10\).
2. O vetor pedido é \(\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=(-3,4)\), pois tem o mesmo sentido de \(\overrightarrow{u}\) e norma \(\frac{1}{2}\times 10=5\).
Exercício 10
★Exercício originalEquação vetorial e paramétricas da reta
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a reta \(r\) que passa no ponto \(A(2,-1)\) e tem a direção do vetor \(\overrightarrow{u}(3,4)\).
Escreva uma equação vetorial da reta \(r\) e verifique que o ponto \(B(8,7)\) lhe pertence.
Ver resolução
1. Uma equação vetorial é \((x,y)=(2,-1)+k(3,4), k\in R\).
2. Para \(k=2\): \((2,-1)+2(3,4)=(8,7)\), pelo que \(B\) pertence à reta \(r\).
Exercício 11
★★Exercício originalPontos, distâncias e ponto médio
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(-1,1)\), \(B(3,4)\) e \(C(6,0)\).
a) Mostre que o triângulo \([ABC]\) é isósceles e retângulo em \(B\).
b) Determine o perímetro e a área do triângulo \([ABC]\).
Ver resolução
a) ★★
1. \(\overline{AB}=\sqrt{16+9}=5\) e \(\overline{BC}=\sqrt{9+16}=5\), pelo que o triângulo é isósceles.
2. \({\overline{AC}}^{2}=49+1=50\).
3. Como \({\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}=25+25=50={\overline{AC}}^{2}\), pelo recíproco do teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo em \(B\).
b) ★★
1. Perímetro: \(5+5+\sqrt{50}=10+5\sqrt{2}\).
2. Área: \(\frac{5\times 5}{2}=\frac{25}{2}\).
Exercício 12
★★Exercício originalPontos, distâncias e ponto médio
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o ponto \(A(-2,5)\). O ponto \(M(1,3)\) é o ponto médio do segmento de reta \([AB]\) e o ponto \(C\) é o transformado do ponto \(B\) pela reflexão de eixo \(Oy\).
Determine a área do triângulo \([ABC]\).
Ver resolução
1. Sendo \(B(a,b)\): \(\frac{-2+a}{2}=1\Leftrightarrow a=4\) e \(\frac{5+b}{2}=3\Leftrightarrow b=1\). Logo, \(B(4,1)\).
2. Pela reflexão de eixo \(Oy\), \(C(-4,1)\).
3. A base \([BC]\) é horizontal, com comprimento \(8\), e a altura relativa a \(A\) é \(5-1=4\).
4. Área: \(\frac{8\times 4}{2}=16\).
Exercício 13
★★Exercício originalPontos, distâncias e ponto médio
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o ponto \(A(3,1)\).
Qual é a soma das ordenadas dos pontos do eixo \(Oy\) cuja distância ao ponto \(A\) é \(5\)?
(A) \(-8\)
(B) \(0\)
(C) \(2\)
(D) \(8\)
Ver resolução
Resposta: (C)
1. Seja \((0,y)\) um desses pontos: \(9+(y-1{)}^{2}=25\Leftrightarrow (y-1{)}^{2}=16\Leftrightarrow y=5\lor y=-3\).
2. A soma das ordenadas é \(5+(-3)=2\).
Exercício 14
★★Exercício originalPontos, distâncias e ponto médio
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(k,2)\) e \(B(3,k)\), com \(k\in R\).
Determine os valores de \(k\) para os quais \(\overline{AB}=\sqrt{5}\).
Ver resolução
1. \({\overline{AB}}^{2}=(3-k{)}^{2}+(k-2{)}^{2}=2{k}^{2}-10k+13\).
2. \(2{k}^{2}-10k+13=5\Leftrightarrow {k}^{2}-5k+4=0\Leftrightarrow k=1\lor k=4\).
Exercício 15
★★Exercício originalMediatriz e lugares geométricos
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(-2,1)\) e \(B(4,5)\).
a) Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta \([AB]\).
b) Determine as coordenadas do ponto do eixo \(Ox\) que é equidistante dos pontos \(A\) e \(B\).
Ver resolução
a) ★★
1. Ponto médio de \([AB]\): \(M(1,3)\).
2. Declive de \(AB\): \(\frac{5-1}{4+2}=\frac{2}{3}\); o declive da mediatriz é \(-\frac{3}{2}\).
3. Equação: \(y-3=-\frac{3}{2}(x-1)\Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}\).
b) ★★
O ponto pertence à mediatriz e tem ordenada nula: \(0=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=3\). O ponto é \((3,0)\).
Exercício 16
★★Exercício originalMediatriz e lugares geométricos
Uma estrada retilínea é representada, em referencial o.n. \(Oxy\), pelo eixo \(Ox\). Duas aldeias são representadas pelos pontos \(A(1,4)\) e \(B(5,2)\). Pretende-se construir na estrada uma paragem de autocarro, \(P\), à mesma distância das duas aldeias.
Determine as coordenadas do ponto \(P\).
Ver resolução
1. Seja \(P(x,0)\). De \(\overline{PA}=\overline{PB}\) vem \((x-1{)}^{2}+16=(x-5{)}^{2}+4\).
2. \({x}^{2}-2x+17={x}^{2}-10x+29\Leftrightarrow 8x=12\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\).
3. Logo, \(P\left( \frac{3}{2},0 \right)\).
Exercício 17
★★Exercício originalMediatriz e lugares geométricos
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(-3,1)\), \(B(5,1)\) e \(C(3,5)\).
Escreva a equação reduzida da circunferência que passa nos pontos \(A\), \(B\) e \(C\).
Ver resolução
1. A mediatriz de \([AB]\) é a reta de equação \(x=1\), pelo que o centro é da forma \(D(1,c)\).
2. De \({\overline{DA}}^{2}={\overline{DC}}^{2}\) vem \(16+(c-1{)}^{2}=4+(c-5{)}^{2}\Leftrightarrow 8c=12\Leftrightarrow c=\frac{3}{2}\).
3. Quadrado do raio: \(16+{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}=\frac{65}{4}\).
4. Equação: \((x-1{)}^{2}+{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}=\frac{65}{4}\).
Exercício 18
★★Exercício originalCircunferência
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência definida por \({x}^{2}+{y}^{2}-4x+6y-12=0\).
a) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
b) Determine o comprimento da corda definida pela circunferência no eixo \(Ox\).
Ver resolução
a) ★★
1. Completando os quadrados: \(({x}^{2}-4x+4)+({y}^{2}+6y+9)=12+4+9\).
2. \((x-2{)}^{2}+(y+3{)}^{2}=25\): o centro é \((2,-3)\) e o raio é \(5\).
b) ★★
1. Para \(y=0\): \((x-2{)}^{2}+9=25\Leftrightarrow x-2=\pm 4\Leftrightarrow x=6\lor x=-2\).
2. O comprimento da corda é \(6-(-2)=8\).
Exercício 19
★★Exercício originalCircunferência
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(-1,2)\) e \(B(5,-6)\).
Escreva a equação reduzida da circunferência de diâmetro \([AB]\) e averigue se a origem do referencial é um ponto interior ou exterior à circunferência.
Ver resolução
1. Centro: ponto médio de \([AB]\), \((2,-2)\).
2. Raio: \(\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{\sqrt{36+64}}{2}=5\).
3. Equação: \((x-2{)}^{2}+(y+2{)}^{2}=25\).
4. Para a origem: \(4+4=8<25\), pelo que a origem é um ponto interior à circunferência.
Exercício 20
★★Exercício originalCircunferência
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro \(C(-3,2)\), tangente ao eixo \(Ox\).
Qual é a equação reduzida da circunferência?
(A) \((x+3{)}^{2}+(y-2{)}^{2}=4\)
(B) \((x+3{)}^{2}+(y-2{)}^{2}=9\)
(C) \((x-3{)}^{2}+(y+2{)}^{2}=4\)
(D) \((x+3{)}^{2}+(y-2{)}^{2}=2\)
Ver resolução
Resposta: (A)
Sendo tangente ao eixo \(Ox\), o raio é igual à distância do centro a esse eixo, ou seja, \(2\). A equação é \((x+3{)}^{2}+(y-2{)}^{2}=4\).
Exercício 21
★★Exercício originalCircunferência
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro \(C(1,-2)\) e raio \(5\) e o ponto \(P(4,2)\).
Mostre que \(P\) pertence à circunferência e determine a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto \(P\).
Ver resolução
1. \((4-1{)}^{2}+(2+2{)}^{2}=9+16=25\), pelo que \(P\) pertence à circunferência.
2. Declive de \(CP\): \(\frac{4}{3}\). A tangente é perpendicular ao raio \([CP]\), logo tem declive \(-\frac{3}{4}\).
3. \(y-2=-\frac{3}{4}(x-4)\Leftrightarrow y=-\frac{3}{4}x+5\).
Exercício 22
★★Exercício originalRetas no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), as retas \(r\) e \(s\), definidas por \(2x+3y=6\) e \(y=x-3\), respetivamente.
a) Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas \(r\) e \(s\).
b) Determine a área do triângulo limitado pelas retas \(r\) e \(s\) e pelo eixo \(Oy\).
Ver resolução
a) ★★
\(2x+3(x-3)=6\Leftrightarrow 5x=15\Leftrightarrow x=3\), e \(y=0\). O ponto de intersecção é \((3,0)\).
b) ★★
1. A reta \(r\) interseta \(Oy\) em \((0,2)\) e a reta \(s\) interseta \(Oy\) em \((0,-3)\).
2. A base, sobre \(Oy\), mede \(5\) e a altura é a abcissa do ponto de intersecção, \(3\).
3. Área: \(\frac{5\times 3}{2}=\frac{15}{2}\).
Exercício 23
★★Exercício originalRetas no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), as retas \(r\) e \(s\), definidas por \(y=(k-1)x+2\) e \(y=(3-k)x\), respetivamente, com \(k\in R\).
a) Determine o valor de \(k\) para o qual as retas são paralelas.
b) Determine os valores de \(k\) para os quais as retas são perpendiculares.
Ver resolução
a) ★★
\(k-1=3-k\Leftrightarrow k=2\).
b) ★★
1. O produto dos declives é \(-1\): \((k-1)(3-k)=-1\).
2. \(-{k}^{2}+4k-3=-1\Leftrightarrow {k}^{2}-4k+2=0\Leftrightarrow k=2\pm \sqrt{2}\).
Exercício 24
★★Exercício originalRetas no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o paralelogramo \([ABCD]\), com \(A(1,1)\), \(B(5,2)\) e \(C(6,5)\).
Determine as coordenadas do ponto \(D\) e a equação reduzida da reta \(AD\).
Ver resolução
1. As diagonais bissetam-se, pelo que \(D=A+C-B=(2,4)\).
2. Declive de \(AD\): \(\frac{4-1}{2-1}=3\).
3. Com \(y=3x+b\) e o ponto \(A\): \(b=-2\). A equação é \(y=3x-2\).
Exercício 25
★★Exercício originalRetas no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a reta \(r\) de equação \(y=2x+1\) e o ponto \(P(4,-1)\).
a) Determine a equação reduzida da reta \(s\), perpendicular a \(r\), que passa em \(P\).
b) Determine a distância do ponto \(P\) à reta \(r\).
Ver resolução
a) ★★
O declive de \(s\) é \(-\frac{1}{2}\): \(y+1=-\frac{1}{2}(x-4)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2}x+1\).
b) ★★
1. Intersecção de \(r\) com \(s\): \(2x+1=-\frac{1}{2}x+1\Leftrightarrow x=0\), ou seja, o ponto \(Q(0,1)\).
2. A distância pedida é \(\overline{PQ}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\).
Exercício 26
★★Exercício originalVetores no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os vetores \(\overrightarrow{u}(k,2)\) e \(\overrightarrow{v}(8,k)\), com \(k\in R\).
Para que valor de \(k\) são os vetores colineares e com o mesmo sentido?
(A) \(-4\)
(B) \(2\)
(C) \(4\)
(D) \(16\)
Ver resolução
Resposta: (C)
1. Colinearidade: \(\frac{k}{8}=\frac{2}{k}\Leftrightarrow {k}^{2}=16\Leftrightarrow k=4\lor k=-4\).
2. Para \(k=4\), \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}\) (mesmo sentido); para \(k=-4\), \(\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}\) (sentido contrário).
Exercício 27
★★Exercício originalVetores no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o paralelogramo \([ABCD]\), com \(A(-1,2)\), \(B(3,3)\) e \(D(1,-2)\).
a) Determine as coordenadas do ponto \(C\).
b) Determine as coordenadas do ponto \(Q\) tal que \(\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\).
Ver resolução
a) ★★
\(\overrightarrow{AD}=(2,-4)\), pelo que \(C=B+\overrightarrow{AD}=(5,-1)\).
b) ★★
1. \(\overrightarrow{AB}=(4,1)\), logo \(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=(8,2)-(2,-4)=(6,6)\).
2. \(Q=A+(6,6)=(5,8)\).
Exercício 28
★★Exercício originalVetores no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o vetor \(\overrightarrow{u}(2k-1,3)\), com \(k\in R\).
a) Determine os valores de \(k\) para os quais \(\parallel \overrightarrow{u}\parallel =5\).
b) Para o maior desses valores, determine as coordenadas do vetor colinear com \(\overrightarrow{u}\), de sentido contrário e norma \(10\).
Ver resolução
a) ★★
\((2k-1{)}^{2}+9=25\Leftrightarrow 2k-1=\pm 4\Leftrightarrow k=\frac{5}{2}\lor k=-\frac{3}{2}\).
b) ★★
Para \(k=\frac{5}{2}\), \(\overrightarrow{u}(4,3)\). O vetor pedido é \(-2\overrightarrow{u}=(-8,-6)\).
Exercício 29
★★Exercício originalEquação vetorial e paramétricas da reta
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a reta \(r\) definida por \((x,y)=(1,-2)+k(2,3), k\in R\).
Determine a equação reduzida da reta \(r\) e os pontos de intersecção com os eixos coordenados.
Ver resolução
1. O declive é \(\frac{3}{2}\): \(y+2=\frac{3}{2}(x-1)\Leftrightarrow y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}\).
2. Com \(Oy\): \(\left( 0,-\frac{7}{2} \right)\).
3. Com \(Ox\): \(\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}\Leftrightarrow x=\frac{7}{3}\), ou seja, \(\left( \frac{7}{3},0 \right)\).
Exercício 30
★★Exercício originalEquação vetorial e paramétricas da reta
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a reta \(r\) definida pelo sistema de equações paramétricas \(\left\{ \begin{matrix}x=2-t \\ y=1+3t\end{matrix} \right., t\in R\).
a) Determine a ordenada do ponto da reta \(r\) de abcissa \(-1\).
b) Escreva uma equação vetorial da reta paralela a \(r\) que passa na origem e a equação reduzida da reta \(r\).
Ver resolução
a) ★★
\(2-t=-1\Leftrightarrow t=3\), pelo que \(y=1+9=10\).
b) ★★
1. Um vetor diretor é \((-1,3)\), pelo que uma equação vetorial da paralela é \((x,y)=k(-1,3), k\in R\).
2. O declive de \(r\) é \(-3\) e \(r\) passa em \((2,1)\): \(y=-3x+7\).
Exercício 31
★★Exercício originalEquação vetorial e paramétricas da reta
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(0,3)\) e \(B(2,-1)\).
Qual das equações seguintes define a reta \(AB\)?
(A) \((x,y)=(0,3)+k(2,1), k\in R\)
(B) \((x,y)=(2,-1)+k(1,-2), k\in R\)
(C) \((x,y)=(2,-1)+k(1,2), k\in R\)
(D) \((x,y)=(0,3)+k(2,-1), k\in R\)
Ver resolução
Resposta: (B)
\(\overrightarrow{AB}=(2,-4)\), pelo que \((1,-2)\) é um vetor diretor da reta. A opção (B) usa este vetor e o ponto \(B\), que pertence à reta.
Exercício 32
★★Exercício originalSemiplanos e domínios planos
Na figura, está representada, em referencial o.n. \(Oxy\), uma circunferência de centro na origem e raio \(3\), bem como a bissetriz dos quadrantes ímpares.
Qual das condições seguintes define a região colorida, incluindo a fronteira?
(A) \({x}^{2}+{y}^{2}\le 9 \land y\ge x\)
(B) \({x}^{2}+{y}^{2}\le 3 \land y\ge x\)
(C) \({x}^{2}+{y}^{2}\le 9 \land y\le x\)
(D) \({x}^{2}+{y}^{2}\ge 9 \land y\ge x\)
Ver resolução
Resposta: (A)
1. A região é interior à circunferência de raio \(3\): \({x}^{2}+{y}^{2}\le 9\).
2. Situa-se acima da reta de equação \(y=x\): \(y\ge x\).
Exercício 33
★★Exercício originalSemiplanos e domínios planos
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o triângulo de vértices \(O(0,0)\), \(A(4,0)\) e \(B(0,2)\).
Escreva uma condição que defina o triângulo \([OAB]\), incluindo a fronteira, e determine a sua área.
Ver resolução
1. A reta \(AB\) tem declive \(-\frac{1}{2}\) e ordenada na origem \(2\): \(y=-\frac{1}{2}x+2\).
2. Condição: \(x\ge 0 \land y\ge 0 \land y\le -\frac{1}{2}x+2\).
3. Área: \(\frac{4\times 2}{2}=4\).
Exercício 34
★★Exercício originalSemiplanos e domínios planos
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(1,1)\) e \(B(5,3)\).
Escreva uma condição que defina o conjunto dos pontos do plano mais próximos de \(A\) do que de \(B\) e verifique se o ponto \(C(2,3)\) pertence a esse conjunto.
Ver resolução
1. A mediatriz de \([AB]\) passa em \(M(3,2)\) e tem declive \(-2\): \(y=-2x+8\).
2. O ponto \(A\) verifica \(y<-2x+8\), pois \(1<6\). O conjunto é definido por \(y<-2x+8\).
3. Para \(C\): \(3<-4+8=4\), pelo que \(C\) pertence ao conjunto.
Exercício 35
★★Exercício originalSemiplanos e domínios planos
Na figura, estão representadas, em referencial o.n. \(Oxy\), duas circunferências de centro na origem e raios \(1\) e \(2\).
Escreva uma condição que defina a região colorida, incluindo a fronteira, e determine a área dessa região.
Ver resolução
1. Condição: \(1\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 4 \land x\ge 0 \land y\ge 0\).
2. A região é a quarta parte de uma coroa circular: \(\frac{\pi \times {2}^{2}-\pi \times {1}^{2}}{4}=\frac{3\pi }{4}\).
Exercício 36
★★★Exercício originalPontos, distâncias e ponto médio
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o losango \([ABCD]\), com \(A(-1,-1)\) e \(C(5,3)\). O ponto \(B\) pertence ao eixo \(Ox\).
a) Determine as coordenadas dos pontos \(B\) e \(D\).
b) Determine a área do losango.
Ver resolução
a) ★★★
1. A reta \(BD\) é a mediatriz de \([AC]\), que passa em \(M(2,1)\) e tem declive \(-\frac{3}{2}\): \(y=-\frac{3}{2}x+4\).
2. \(B\) tem ordenada nula: \(0=-\frac{3}{2}x+4\Leftrightarrow x=\frac{8}{3}\). Logo, \(B\left( \frac{8}{3},0 \right)\).
3. \(M\) é o ponto médio de \([BD]\): \(D=2M-B=\left( \frac{4}{3},2 \right)\).
b) ★★★
1. \(\overline{AC}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}\).
2. \(\overline{BD}=\sqrt{\frac{16}{9}+4}=\frac{2\sqrt{13}}{3}\).
3. Área: \(\frac{\overline{AC}\times \overline{BD}}{2}=\frac{26}{3}\).
Exercício 37
★★★Exercício originalMediatriz e lugares geométricos
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(-3,0)\) e \(B(3,0)\).
Mostre que o conjunto dos pontos \(P\) do plano tais que \(\overline{PA}=2\,\overline{PB}\) é uma circunferência e indique o seu centro e o seu raio.
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1. Seja \(P(x,y)\). Como os dois membros são positivos, \({\overline{PA}}^{2}=4\,{\overline{PB}}^{2}\).
2. \((x+3{)}^{2}+{y}^{2}=4(x-3{)}^{2}+4{y}^{2}\Leftrightarrow 3{x}^{2}+3{y}^{2}-30x+27=0\).
3. \({x}^{2}+{y}^{2}-10x+9=0\Leftrightarrow (x-5{)}^{2}+{y}^{2}=16\).
4. É a circunferência de centro \((5,0)\) e raio \(4\).
Exercício 38
★★★Exercício originalMediatriz e lugares geométricos
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os pontos \(A(a,0)\) e \(B(0,2a)\), com \(a\ne 0\).
Determine o valor de \(a\) para o qual o ponto \(P(3,1)\) pertence à mediatriz do segmento de reta \([AB]\).
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1. \(P\) é equidistante de \(A\) e de \(B\): \((3-a{)}^{2}+1=9+(1-2a{)}^{2}\).
2. \({a}^{2}-6a+10=4{a}^{2}-4a+10\Leftrightarrow 3{a}^{2}+2a=0\Leftrightarrow a=0\lor a=-\frac{2}{3}\).
3. Como \(a\ne 0\), tem-se \(a=-\frac{2}{3}\).
Exercício 39
★★★Exercício originalCircunferência
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o ponto \(P(2,1)\).
Determine as equações reduzidas das circunferências tangentes aos dois eixos coordenados que passam no ponto \(P\).
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1. Como \(P\) está no primeiro quadrante, o centro é \((r,r)\), com \(r>0\), e a equação é \((x-r{)}^{2}+(y-r{)}^{2}={r}^{2}\).
2. Para \(P\): \((2-r{)}^{2}+(1-r{)}^{2}={r}^{2}\Leftrightarrow {r}^{2}-6r+5=0\Leftrightarrow r=1\lor r=5\).
3. As equações são \((x-1{)}^{2}+(y-1{)}^{2}=1\) e \((x-5{)}^{2}+(y-5{)}^{2}=25\).
Exercício 40
★★★Exercício originalCircunferência
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência definida por \({x}^{2}+{y}^{2}=5\) e o ponto \(P(5,0)\).
a) [★★★] Determine as equações reduzidas das retas que passam em \(P\) e são tangentes à circunferência.
b) [★★] Determine as coordenadas dos pontos de tangência.
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a) ★★★
1. Uma reta não vertical que passa em \(P\) tem equação \(y=m(x-5)\); a reta vertical \(x=5\) não interseta a circunferência.
2. Substituindo: \((1+{m}^{2}){x}^{2}-10{m}^{2}x+25{m}^{2}-5=0\).
3. Há tangência se o discriminante for nulo: \(100{m}^{4}-4(1+{m}^{2})(25{m}^{2}-5)=20-80{m}^{2}=0\Leftrightarrow m=\pm \frac{1}{2}\).
4. As retas são \(y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\) e \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\).
b) ★★
1. Para \({m}^{2}=\frac{1}{4}\), a equação fica \(\frac{5}{4}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{5}{4}=0\Leftrightarrow (x-1{)}^{2}=0\Leftrightarrow x=1\).
2. Os pontos de tangência são \((1,-2)\) e \((1,2)\).
Exercício 41
★★★Exercício originalCircunferência
Na figura, estão representadas, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro \(C\) definida por \((x-2{)}^{2}+(y-1{)}^{2}=10\) e a reta de equação \(y=x+1\), que interseta a circunferência nos pontos \(A\) e \(B\), tendo \(A\) menor abcissa do que \(B\).
a) [★★] Determine as coordenadas dos pontos \(A\) e \(B\).
b) [★★★] Determine a área do triângulo \([ABC]\).
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a) ★★
1. \((x-2{)}^{2}+{x}^{2}=10\Leftrightarrow 2{x}^{2}-4x-6=0\Leftrightarrow x=-1\lor x=3\).
2. \(A(-1,0)\) e \(B(3,4)\).
b) ★★★
1. O ponto médio de \([AB]\) é \(M(1,2)\) e \(\overline{AB}=4\sqrt{2}\).
2. Como \(\overline{CA}=\overline{CB}\), \([CM]\) é a altura relativa à base \([AB]\): \(\overline{CM}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\).
3. Área: \(\frac{4\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2}=4\).
Exercício 42
★★★Exercício originalRetas no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o triângulo de vértices \(A(-2,0)\), \(B(4,0)\) e \(C(2,6)\).
a) [★★★] Determine as coordenadas do ortocentro do triângulo \([ABC]\).
b) [★★] Determine a área do triângulo.
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a) ★★★
1. A altura relativa a \([AB]\) é a reta de equação \(x=2\).
2. Declive de \(BC\): \(-3\); a altura que passa em \(A\) tem declive \(\frac{1}{3}\): \(y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\).
3. Para \(x=2\): \(y=\frac{4}{3}\). O ortocentro é \(\left( 2,\frac{4}{3} \right)\).
b) ★★
\(\frac{6\times 6}{2}=18\).
Exercício 43
★★★Exercício originalRetas no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), uma reta de declive negativo que passa no ponto \(P(2,3)\) e que define, com os semieixos positivos, um triângulo de área \(12\).
Determine a equação reduzida dessa reta.
Ver resolução
1. A reta é \(y=mx+3-2m\), com \(m<0\).
2. Interseta \(Oy\) em \((0,3-2m)\) e \(Ox\) em \(\left( 2-\frac{3}{m},0 \right)\).
3. \(\frac{1}{2}\left( 2-\frac{3}{m} \right)(3-2m)=12\Leftrightarrow 12-4m-\frac{9}{m}=24\Leftrightarrow 4{m}^{2}+12m+9=0\).
4. \((2m+3{)}^{2}=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\).
5. A equação é \(y=-\frac{3}{2}x+6\).
Exercício 44
★★★Exercício originalVetores no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), os vetores \(\overrightarrow{a}(2,1)\) e \(\overrightarrow{b}(-1,3)\).
a) Determine os números reais \(\alpha \) e \(\beta \) tais que \((7,0)=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}\).
b) Determine o valor de \(t\) para o qual o vetor \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) é colinear com o vetor \((1,1)\).
Ver resolução
a) ★★★
1. \(\left\{ \begin{matrix}2\alpha -\beta =7 \\ \alpha +3\beta =0\end{matrix} \right.\), pelo que \(\alpha =-3\beta \).
2. \(-6\beta -\beta =7\Leftrightarrow \beta =-1\), e \(\alpha =3\).
b) ★★★
\(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=(2-t,1+3t)\); a colinearidade com \((1,1)\) exige \(2-t=1+3t\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}\).
Exercício 45
★★★Exercício originalVetores no plano
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), o paralelogramo \([ABCD]\), com \(A(1,1)\), \(B(7,3)\) e \(D(2,5)\). O ponto \(M\) é o ponto médio de \([CD]\) e \(P\) é o ponto de intersecção das retas \(AM\) e \(BD\).
a) [★★] Determine as coordenadas dos pontos \(C\) e \(M\).
b) [★★★] Mostre que \(\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\).
Ver resolução
a) ★★
1. \(C=B+\overrightarrow{AD}=(7,3)+(1,4)=(8,7)\).
2. \(M=\left( \frac{2+8}{2},\frac{5+7}{2} \right)=(5,6)\).
b) ★★★
1. \(\overrightarrow{AM}=(4,5)\) e \(\overrightarrow{BD}=(-5,2)\).
2. \(P=(1,1)+s(4,5)=(7,3)+t(-5,2)\), ou seja, \(\left\{ \begin{matrix}4s+5t=6 \\ 5s-2t=2\end{matrix} \right.\).
3. Este sistema tem solução \(s=t=\frac{2}{3}\).
4. Logo, \(\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\), com \(P\left( \frac{11}{3},\frac{13}{3} \right)\).
Exercício 46
★★★Exercício originalEquação vetorial e paramétricas da reta
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a reta \(r\) definida por \((x,y)=(1,3)+t(2,-1), t\in R\), e o ponto \(Q(6,3)\).
a) [★★] Sendo \(P\) um ponto da reta \(r\), mostre que \({\overline{PQ}}^{2}=5{t}^{2}-20t+25\).
b) [★★★] Determine as coordenadas do ponto da reta \(r\) mais próximo de \(Q\) e a distância do ponto \(Q\) à reta \(r\).
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a) ★★
1. \(P(1+2t,3-t)\), pelo que \(\overrightarrow{QP}=(2t-5,-t)\).
2. \({\overline{PQ}}^{2}=(2t-5{)}^{2}+{t}^{2}=5{t}^{2}-20t+25\).
b) ★★★
1. \(5{t}^{2}-20t+25=5(t-2{)}^{2}+5\), cujo valor mínimo, \(5\), ocorre para \(t=2\).
2. O ponto é \((5,1)\).
3. A distância é \(\sqrt{5}\).
Exercício 47
★★★Exercício originalSemiplanos e domínios planos
Na figura, estão representadas, em referencial o.n. \(Oxy\), a circunferência de centro na origem e raio \(4\) e as retas de equações \(y=x\) e \(y=-x\).
a) [★★] Escreva uma condição que defina a região colorida, incluindo a fronteira.
b) [★★] Determine a área da região colorida e a percentagem que esta representa da área do círculo.
c) [★★★] Determine os valores de \(k\) para os quais o ponto \((k,k+2)\) pertence à região colorida.
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a) ★★
\({x}^{2}+{y}^{2}\le 16 \land y\ge x \land y\ge -x\).
b) ★★
1. As retas são perpendiculares, pelo que a região é a quarta parte do círculo.
2. Área: \(\frac{\pi \times {4}^{2}}{4}=4\pi \), ou seja, \(25\%\) da área do círculo.
c) ★★★
1. A condição \(y\ge x\) verifica-se sempre, pois \(k+2\ge k\).
2. \(k+2\ge -k\Leftrightarrow k\ge -1\).
3. \({k}^{2}+(k+2{)}^{2}\le 16\Leftrightarrow {k}^{2}+2k-6\le 0\Leftrightarrow -1-\sqrt{7}\le k\le -1+\sqrt{7}\).
4. Conjugando as condições: \(-1\le k\le -1+\sqrt{7}\).
Exercício 48
★★★Exercício originalSemiplanos e domínios planos
Na figura, está representado, em referencial o.n. \(Oxy\), o triângulo limitado pelo eixo \(Oy\) e pelas retas \(r\), de equação \(y=6-x\), e \(s\), de equação \(y=\frac{1}{2}x\).
a) [★★] Escreva uma condição que defina o triângulo, incluindo a fronteira, e determine a sua área.
b) [★★★] Determine quantos pontos de coordenadas inteiras pertencem ao triângulo, incluindo a fronteira.
Ver resolução
a) ★★
1. Condição: \(x\ge 0 \land y\ge \frac{1}{2}x \land y\le 6-x\).
2. Intersecção de \(r\) e \(s\): \(\frac{1}{2}x=6-x\Leftrightarrow x=4\), ou seja, \((4,2)\).
3. A base, sobre \(Oy\), mede \(6\) e a altura é \(4\). Área: \(\frac{6\times 4}{2}=12\).
b) ★★★
1. Para cada abcissa inteira \(x\in \{0,1,2,3,4\}\), as ordenadas verificam \(\frac{x}{2}\le y\le 6-x\).
2. \(x=0\): \(y\) de \(0\) a \(6\) (\(7\) pontos); \(x=1\): de \(1\) a \(5\) (\(5\) pontos); \(x=2\): de \(1\) a \(4\) (\(4\) pontos); \(x=3\): de \(2\) a \(3\) (\(2\) pontos); \(x=4\): \(y=2\) (\(1\) ponto).
3. Total: \(7+5+4+2+1=19\) pontos.
Exercício 49
★★★Exercício originalSemiplanos e domínios planos
Considere, em referencial o.n. \(Oxy\), a condição \({x}^{2}+{y}^{2}\le 4 \land y\ge x+k\), com \(k\in R\).
a) Determine o conjunto dos valores de \(k\) para os quais a reta de equação \(y=x+k\) interseta a circunferência de equação \({x}^{2}+{y}^{2}=4\).
b) Determine o maior valor de \(k\) para o qual a condição define um conjunto não vazio e identifique esse conjunto.
Ver resolução
a) ★★★
1. Substituindo: \(2{x}^{2}+2kx+{k}^{2}-4=0\).
2. O discriminante é \(4{k}^{2}-8({k}^{2}-4)=32-4{k}^{2}\).
3. \(32-4{k}^{2}\ge 0\Leftrightarrow {k}^{2}\le 8\Leftrightarrow -2\sqrt{2}\le k\le 2\sqrt{2}\).
b) ★★★
1. Para \(k\) maior, a reta afasta-se para cima do círculo, pelo que \(k=2\sqrt{2}\) é o maior valor.
2. Para \(k=2\sqrt{2}\), a reta é tangente: \(2{x}^{2}+4\sqrt{2}x+4=0\Leftrightarrow (x+\sqrt{2}{)}^{2}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2}\).
3. O conjunto é formado pelo ponto \(\left( -\sqrt{2},\sqrt{2} \right)\).
Exercício 50
★★★Exercício originalSemiplanos e domínios planos
Na figura, está representado, em referencial o.n. \(Oxy\), em que a unidade é o metro, um terreno retangular de vértices \((0,0)\), \((10,0)\), \((10,6)\) e \((0,6)\). Dois aspersores, colocados nos pontos \(A(2,3)\) e \(B(8,3)\), regam, cada um, os pontos do terreno que distam, no máximo, \(5\) metros do aspersor.
a) [★★] Escreva uma condição que defina a zona do terreno regada pelos dois aspersores.
b) [★★★] Determine as coordenadas dos pontos de intersecção das duas circunferências e a distância entre eles.
c) [★★] Mostre que o ponto do terreno de coordenadas \((5,0)\) é regado pelos dois aspersores, mas que o mesmo não acontece com o ponto \((1,6)\).
Ver resolução
a) ★★
\((x-2{)}^{2}+(y-3{)}^{2}\le 25 \land (x-8{)}^{2}+(y-3{)}^{2}\le 25 \land 0\le x\le 10 \land 0\le y\le 6\).
b) ★★★
1. Subtraindo as equações: \((x-2{)}^{2}-(x-8{)}^{2}=0\Leftrightarrow 12x-60=0\Leftrightarrow x=5\).
2. \(9+(y-3{)}^{2}=25\Leftrightarrow y=7\lor y=-1\).
3. Os pontos são \((5,7)\) e \((5,-1)\), à distância de \(8\) metros.
c) ★★
1. Para \((5,0)\): \(9+9=18\le 25\) em relação a \(A\) e a \(B\), pelo que é regado pelos dois.
2. Para \((1,6)\): em relação a \(B\), \(49+9=58>25\), pelo que não é regado pelo aspersor \(B\).