Geometria sintética no plano

Como o triângulo é isósceles de base \(\left[ EM \right]\), o ortocentro \(O\), o baricentro \(B\) e o circuncentro \(C\) pertencem todos ao eixo de simetria do triângulo, que é perpendicular a \(\left[ EM \right]\) e passa no seu ponto médio.

Pela reta de Euler, o baricentro divide o segmento que une o ortocentro ao circuncentro na razão \(2:1\) a partir do ortocentro: \(\overline{OB}=2\times \overline{BC}\), pelo que \(\overline{BC}=\frac{\overline{OB}}{2}=\frac{4}{2}=2\).

O polígono \(\left[ EBMC \right]\) tem diagonais \(\left[ EM \right]\) e \(\left[ BC \right]\), perpendiculares entre si (pois \(\left[ BC \right]\) está sobre o eixo de simetria, perpendicular a \(\left[ EM \right]\)).

Área \(=\frac{\overline{EM}\times \overline{BC}}{2}=\frac{8\times 2}{2}=8\).

Resposta: (B)

a) ★

O ponto de interseção das três mediatrizes dos lados de um triângulo é, por definição, o circuncentro.

Resposta: (D)

b) ★★

Como \(O\) é o circuncentro de \(\left[ ABC \right]\), \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=R\), sendo \(R\) o raio da circunferência circunscrita.

Como \(M\) é o ponto médio da corda \(\left[ AC \right]\), o segmento \(\left[ OM \right]\) (contido na mediatriz de \(\left[ AC \right]\)) é perpendicular a \(\left[ AC \right]\), pelo que o triângulo \(\left[ OMA \right]\) é retângulo em \(M\).

\(\overline{MA}=\frac{\overline{AC}}{2}=\frac{2}{2}=1\).

Pelo Teorema de Pitágoras: \({R}^{2}={\overline{OA}}^{2}={\overline{OM}}^{2}+{\overline{MA}}^{2}={4}^{2}+{1}^{2}=17\).

A área do círculo é \(\pi {R}^{2}=17\pi \).

a) ★

\(O\) é o centro da circunferência inscrita no triângulo \(\left[ ABC \right]\), ou seja, o incentro (o ponto equidistante dos três lados).

(Num triângulo equilátero, o incentro coincide com o baricentro, o ortocentro e o circuncentro, mas o papel desempenhado por \(O\) — centro da circunferência inscrita — é especificamente o de incentro.)

Resposta: (A)

b) ★★

Como \(\left[ ABC \right]\) é equilátero, \(O\) coincide com o baricentro, e os segmentos \(\left[ OA \right]\), \(\left[ OB \right]\) e \(\left[ OC \right]\) decompõem o triângulo em três triângulos — \(\left[ ABO \right]\), \(\left[ BCO \right]\) e \(\left[ CAO \right]\) — geometricamente iguais (por simetria, cada um corresponde a um lado do triângulo e tem a mesma base e a mesma altura relativamente a \(O\)). Logo cada um tem área igual a \(\frac{1}{3}\) da área de \(\left[ ABC \right]\), em particular o triângulo \(\left[ ABO \right]\).

A altura do triângulo equilátero \(\left[ ABC \right]\) é \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \overline{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 6=3\sqrt{3}\).

Como \(O\) é o baricentro, divide a mediana (que, no triângulo equilátero, coincide com a altura) na razão \(2:1\) a partir do vértice; a distância de \(O\) ao lado \(\left[ AB \right]\) é \(\overline{OM}=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\times 3\sqrt{3}=\sqrt{3}\).

As três medianas de um triângulo decompõem-no em seis triângulos de áreas geometricamente iguais (cada um com área igual a \(\frac{1}{6}\) da área total).

Pela figura, a região sombreada é constituída por dois desses seis triângulos (\(\left[ AFG \right]\) e \(\left[ GDB \right]\)), pelo que a sua área é \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) da área de \(\left[ ABC \right]\).

\(\frac{1}{3}\times \text{Área}\left( \left[ ABC \right] \right)=\frac{22}{9}\Leftrightarrow \text{Área}\left( \left[ ABC \right] \right)=3\times \frac{22}{9}=\frac{22}{3}\).

a) ★★

\(D\) é o ponto de interseção das mediatrizes dos três lados do triângulo \(\left[ ABC \right]\).

Por definição, o ponto de interseção das três mediatrizes de um triângulo é o seu circuncentro (o ponto equidistante dos três vértices).

Logo, \(D\) é o circuncentro do triângulo \(\left[ ABC \right]\).

b) ★★

Como \(D\) é o circuncentro de \(\left[ ABC \right]\) (item anterior), tem-se \(\overline{DA}=\overline{DB}=\overline{DC}=R\), sendo \(R\) o raio da circunferência circunscrita.

Como \(\left[ CDEF \right]\) é um quadrado, todos os seus lados são iguais, em particular \(\overline{DE}=\overline{DC}\).

Logo \(\overline{DE}=\overline{DC}=R\), ou seja, \(E\) está à distância \(R\) do centro \(D\), pelo que \(E\) pertence à circunferência circunscrita ao triângulo \(\left[ ABC \right]\).

Resposta: (A)

Como \(M\) é o ponto médio de \(\left[ AB \right]\), \(\left[ CM \right]\) é a mediana de \(\left[ ABC \right]\) relativa ao vértice \(C\); o baricentro \(P\) pertence a essa mediana, com \(\overline{CP}=2\,\overline{PM}\), isto é, \(\overline{PM}=\frac{1}{3}\overline{CM}\).

Como \(\overline{MB}=\frac{1}{2}\overline{AB}=3\), e, por hipótese, \(\overline{MP}=\overline{MB}=3\), vem \(\overline{CM}=3\times \overline{PM}=3\times 3=9\).

O ângulo reto em \(M\), no triângulo \(\left[ BMP \right]\), é formado pelos segmentos \(\left[ MB \right]\) (ao longo de \(\left[ AB \right]\)) e \(\left[ MP \right]\) (ao longo da mediana \(\left[ CM \right]\), já que \(P\) pertence a este segmento). Logo \(\left[ CM \right]\perp \left[ AB \right]\) em \(M\).

Como \(\left[ CM \right]\) é, simultaneamente, mediana e altura do triângulo \(\left[ ABC \right]\) relativamente ao vértice \(C\) (perpendicular a \(\left[ AB \right]\) no seu ponto médio), a área de \(\left[ ABC \right]\) é \(\frac{\overline{AB}\times \overline{CM}}{2}=\frac{6\times 9}{2}=27\).

O baricentro divide cada mediana na razão \(2:1\) a partir do vértice: \(\overline{PB}=\frac{2}{3}\overline{PS}\), logo \(\overline{PS}=\frac{3}{2}\times 6=9\).

O circuncentro é equidistante dos vértices: \(\overline{CP}=\overline{CQ}=\overline{CR}\). Como \(C\in \left[ PS \right]\), vem \(\overline{CR}=\overline{CP}=9-\overline{CS}\).

\(S\) é o ponto médio de \(\left[ RQ \right]\), pelo que \(\overline{SR}=\frac{6\sqrt{6}}{2}=3\sqrt{6}\) e \({\overline{SR}}^{2}=54\).

No triângulo retângulo \(\left[ CSR \right]\) (\(\left[ PS \right]\) é mediana e altura, por ser \(\overline{PR}=\overline{PQ}\)): \({\overline{CR}}^{2}={\overline{CS}}^{2}+{\overline{SR}}^{2}\), ou seja, \({\left( 9-\overline{CS} \right)}^{2}={\overline{CS}}^{2}+54\).

\(81-18\overline{CS}=54\Leftrightarrow \overline{CS}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}\).

a) ★

\(\left[ BP \right]\) une o vértice \(B\) ao ponto médio \(P\) do lado oposto \(\left[ AC \right]\), pelo que é uma mediana do triângulo.

Resposta: (B)

b) ★★

Como \(\left[ ABC \right]\) é retângulo em \(C\): \({\overline{CB}}^{2}={\overline{AB}}^{2}-{\overline{CA}}^{2}={13}^{2}-{5}^{2}=169-25=144\), pelo que \(\overline{CB}=12\).

Fixando \(C=\left( 0,0 \right)\), \(A=\left( 5,0 \right)\) e \(B=\left( 0,12 \right)\), tem-se \(Q=\) ponto médio de \(\left[ BC \right]=\left( 0,6 \right)\).

\(\overline{AQ}=\sqrt{{\left( 5-0 \right)}^{2}+{\left( 0-6 \right)}^{2}}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}\).

Como \(M\) é a interseção das medianas \(\left[ BP \right]\) e \(\left[ AQ \right]\), \(M\) é o baricentro do triângulo, que divide cada mediana na razão \(2:1\) a partir do vértice: \(\overline{MQ}=\frac{1}{3}\overline{AQ}=\frac{\sqrt{61}}{3}\).

c) ★★★

Mantendo as coordenadas \(C=\left( 0,0 \right)\), \(A=\left( 5,0 \right)\), \(B=\left( 0,12 \right)\), tem-se \(P=\) ponto médio de \(\left[ AC \right]=\left( 2,5,0 \right)\), \(Q=\left( 0,6 \right)\) e \(M=\) baricentro \(=\left( \frac{5+0+0}{3},\frac{0+12+0}{3} \right)=\left( \frac{5}{3},4 \right)\).

Pela fórmula do sapateiro (shoelace), para os vértices \(M,Q,C,P\) (nesta ordem):

\[\text{Área}=\frac{1}{2}\left| {x}_{M}{y}_{Q}-{x}_{Q}{y}_{M}+{x}_{Q}{y}_{C}-{x}_{C}{y}_{Q}+{x}_{C}{y}_{P}-{x}_{P}{y}_{C}+{x}_{P}{y}_{M}-{x}_{M}{y}_{P} \right|\]

Substituindo: \(\frac{5}{3}\times 6-0\times 4+0-0+0-0+2,5\times 4-\frac{5}{3}\times 0=10+0+0+10=20\).

Área \(=\frac{20}{2}=10\).

a) ★★

Num triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto (aqui, \(B\)) e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa; logo as opções (A) e (C) são falsas.

O incentro de qualquer triângulo está sempre no seu interior, pelo que (D) é falsa.

O baricentro de qualquer triângulo está sempre no seu interior.

Resposta: (B)

b) ★★★

A reta de Euler de um triângulo é a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro do triângulo.

Como \(\left[ ABC \right]\) é retângulo em \(B\), o ortocentro do triângulo é o vértice \(B\), e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa \(\left[ AC \right]\).

Logo, a reta de Euler, que passa no ortocentro e no circuncentro, contém o ponto \(B\) e o ponto médio de \(\left[ AC \right]\).

c) ★★

Pelo Teorema de Pitágoras: \(\overline{AC}=\sqrt{{\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=\sqrt{100}=10\).

Como o circuncentro de um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa, o raio da circunferência circunscrita é metade da hipotenusa: \(R=\frac{\overline{AC}}{2}=\frac{10}{2}=5\).

A área do círculo é \(\pi {R}^{2}=\pi \times {5}^{2}=25\pi \).

d) ★★

O raio da circunferência dos nove pontos de um triângulo é metade do raio da circunferência circunscrita: \(r=\frac{R}{2}=\frac{5}{2}\).

O comprimento dessa circunferência é \(2\pi r=2\pi \times \frac{5}{2}=5\pi \).

Resposta: (C)

a) ★★★

Os triângulos \(\left[ ABC \right]\) e \(\left[ MBD \right]\) são semelhantes: o ângulo \(\hat{CBA}\) é comum a ambos, e os ângulos \(\hat{BMD}\) e \(\hat{BAC}\) são ambos retos (pois \(D\) está na mediatriz \(r\), perpendicular a \(\left[ AB \right]\) em \(M\)).

Como \(M\) é o ponto médio de \(\left[ AB \right]\), \(\overline{BM}=\frac{1}{2}\overline{AB}\), e pela razão de semelhança, também \(\overline{BD}=\frac{1}{2}\overline{BC}\), ou seja, \(D\) é o ponto médio de \(\left[ BC \right]\), pelo que \(\overline{BD}=\overline{CD}\).

Como \(D\) pertence à mediatriz \(r\) de \(\left[ AB \right]\), tem-se \(\overline{BD}=\overline{AD}\).

Logo, \(\overline{AD}=\overline{BD}=\overline{CD}\), isto é, \(D\) é equidistante dos três vértices \(A\), \(B\) e \(C\), sendo, por isso, o circuncentro do triângulo \(\left[ ABC \right]\).

b) ★★

\(\left[ CM \right]\) é a mediana de \(\left[ ABC \right]\) relativa ao vértice \(C\) (pois \(M\) é o ponto médio de \(\left[ AB \right]\)), e \(\left[ AD \right]\) é a mediana relativa ao vértice \(A\) (pois \(D\) é o ponto médio de \(\left[ BC \right]\), como mostrado na alínea anterior).

O ponto de interseção de duas medianas de um triângulo é o seu baricentro, pelo que \(E\) é o baricentro de \(\left[ ABC \right]\).

Resposta: (B)

c) ★★★

Como \(E\) é o baricentro, \(E\) divide a mediana \(\left[ AD \right]\) na razão \(2:1\) a partir do vértice: \(\overline{AE}=\frac{2}{3}\overline{AD}\).

Logo, \(\overline{AD}=\frac{3}{2}\overline{AE}=\frac{3}{2}\times 4=6\) cm.

Como \(D\) é o circuncentro, o raio da circunferência circunscrita é \(R=\overline{AD}=6\) cm.

O comprimento da circunferência é \(2\pi R=2\pi \times 6=12\pi \) cm.

Resposta: (C)